Đồ thị hàm số $y=\dfrac{5 x + 6}{7 x + 8}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Giá trị của biểu thức $P=-4h-2k$ bằng

Bài toán gốc

Đồ thị hàm số $y=\dfrac{5 x + 6}{7 x + 8}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Giá trị của biểu thức $P=-4h-2k$ bằng

A. $P=\dfrac{29}{7}$.B. $P=\dfrac{22}{7}$.C. $P=\dfrac{36}{7}$.D. $P=\dfrac{8}{7}$.

Lời giải: Ta có
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=- \dfrac{8}{7}$.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=\dfrac{5}{7}$.
Suy ra $I\left(- \dfrac{8}{7};\dfrac{5}{7}\right)$.
Vậy $P=-4\cdot\left(- \dfrac{8}{7}\right) + \left(-2\right)\cdot\left(\dfrac{5}{7}\right)=\dfrac{22}{7}$.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng toán yêu cầu tìm tâm đối xứng $I(h;k)$ của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ và tính giá trị của một biểu thức $P$ liên quan đến tọa độ $h$ và $k$. Tâm đối xứng $I$ chính là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tiệm cận đứng (TCD) là $x = -d/c$, nên $h = -d/c$. Tiệm cận ngang (TCN) là $y = a/c$, nên $k = a/c$. Sau khi xác định $h$ và $k$, ta thay vào biểu thức $P$ để tìm kết quả.

Bài toán tương tự

1. Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x+3}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Giá trị của biểu thức $P=h+2k$ bằng:

A. $P=1$.B. $P=-1$.C. $P=7$.D. $P=-7$.

Đáp án đúng: A.

Lời giải ngắn gọn: TCD: $x=-3 \Rightarrow h=-3$. TCN: $y=2/1=2 \Rightarrow k=2$. $P = h+2k = -3 + 2(2) = 1$.

2. Đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x+5}{2x-4}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Giá trị của biểu thức $P=2h+4k$ bằng:

A. $P=8$.B. $P=10$.C. $P=12$.D. $P=4$.

Đáp án đúng: B.

Lời giải ngắn gọn: TCD: $x=-(-4)/2=2 \Rightarrow h=2$. TCN: $y=3/2 \Rightarrow k=3/2$. $P = 2h+4k = 2(2) + 4(3/2) = 4 + 6 = 10$.

3. Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-4x+1}{3x-5}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Giá trị của biểu thức $P=3h-k$ bằng:

A. $P=19/3$.B. $P=11/3$.C. $P=1$.D. $P=3$.

Đáp án đúng: A.

Lời giải ngắn gọn: TCD: $x=-(-5)/3=5/3 \Rightarrow h=5/3$. TCN: $y=-4/3 \Rightarrow k=-4/3$. $P = 3h-k = 3(5/3) – (-4/3) = 5 + 4/3 = 19/3$.

4. Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+10}{5x+1}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Giá trị của biểu thức $P=5h+10k$ bằng:

A. $P=3$.B. $P=1$.C. $P=-1$.D. $P=0$.

Đáp án đúng: B.

Lời giải ngắn gọn: TCD: $x=-1/5 \Rightarrow h=-1/5$. TCN: $y=1/5 \Rightarrow k=1/5$. $P = 5h+10k = 5(-1/5) + 10(1/5) = -1 + 2 = 1$.

5. Đồ thị hàm số $y=\dfrac{6x-7}{3x-9}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Giá trị của biểu thức $P=h-k$ bằng:

A. $P=1$.B. $P=-1$.C. $P=5$.D. $P=2/3$.

Đáp án đúng: A.

Lời giải ngắn gọn: TCD: $x=-(-9)/3=3 \Rightarrow h=3$. TCN: $y=6/3=2 \Rightarrow k=2$. $P = h-k = 3 – 2 = 1$.