Đề toán 2022 [Mức độ 2] Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có đáy \(ABC\)là tam giác vuông cân tại \(A\), cạnh bên \(AA’ = 2a\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({30^0}\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Đề toán 2022 [Mức độ 2] Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có đáy \(ABC\)là tam giác vuông cân tại \(A\), cạnh bên \(AA’ = 2a\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({30^0}\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. \(24{a^3}\). B. \(\frac{8}{3}{a^3}\). C. \(8{a^3}\). D. \(\frac{8}{9}{a^3}\).

Lời giải

Gọi \(M\)là trung điểm \(BC\), vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), suy ra \(AM \bot BC\) lại có

\(BC \bot AA’\) nên \(BC \bot \left( {AA’M} \right) \Rightarrow A’M \bot BC\), suy ra góc giữa \(\left( {A’BC} \right)\)và \(\left( {ABC} \right)\) là

\(\widehat {A’MA} = {30^0}\).

Trong tam giác vuông cân\(A’AM\) ta có \(\tan \widehat {A’AM} = \frac{{AA’}}{{AM}} \Rightarrow AM = 2a\sqrt 3 \).

Vì tam giác \(ABC\)vuông cân tại \(A\), suy ra \(BC = 2AM = 4a\sqrt 3 \)

Thể tích khối lăng trụ: \({V_{ABC.A’B’C’}} = \frac{1}{2}.2a\sqrt 3 .4a\sqrt 3 .2a = 24{a^3}\).