Câu hỏi:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(f(x) = \frac{{\sqrt x – 3}}{{\sqrt x – m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {4;16} \right)\).
- A.\(m \in \left[ {4; + \infty } \right)\)
- B.\(m \in \left( {3;4} \right] \cup \left[ {16; + \infty } \right)\)
- C.\(m \in \left( {3; + \infty } \right)\)
- D.\(m = \frac{{33}}{{16}}\)
Đáp án đúng: A
Đặt \(\sqrt x = t \Leftrightarrow 2
Bài toán trở thành tìm m để hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{t – 3}}{{t – m}}\) nghịch biến trên (2;4).
\(g\left( t \right) = \frac{{t – 3}}{{t – m}}\), TXĐ: \(D = \backslash \left\{ m \right\}\)
\(g'(t) = \frac{{3 – m}}{{{{(t – m)}^2}}}\)
Với m=3 thì \(f'(t) = 0,\forall t \ne 3\).
Với \(m \ne 3\) thì \(f'(t) \ne 0,\forall t \ne 3\).
Vậy hàm số f(x) nghịch biến trên (4;16) khi và chỉ khi g(t) nghịch biến trên (2;4).
Điều này xảy ra khi: $g'(t) = \frac{{3 – m}}{{{{(t – m)}^2}}} < 0,\forall t \in (2;4) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \notin (2;4)\\ 3 - m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 4$
Trả lời