Đề: Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – \frac{1}{2}\left( {m + 1} \right){x^2} + m{\rm{x}} + 5.\) Tìm m để hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right).\)

Ta có: \(y’ = {x^2} – \left( {m + 1} \right)x + m\)

Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)khi: \(y’ = \underbrace {{x^2} – \left( {m + 1} \right)x + m}_{f\left( x \right)} \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right).\)

Điều này tương đương với hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: \(y’ \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)

Trường hợp 2: \(y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}

Từ 2 trường hợp trên ta có:

$YCBT \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S – 4 < 0\\f\left( 2 \right) \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\\m + 1 – 4 < 0\\4 - 2m - 2 + m \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m < 3\\m \le 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2.$