Đề: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng \(\left( d \right):x – 2y + m = 0\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{x – 3}}{{x + 1}}\) tại hai điểm phân biệt.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{x – 3}}{{x + 1}} = \frac{{x + m}}{2}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + \left( {m – 1} \right)x + 6 + m = 0{\rm{ }}\left( * \right)\)

Đường thẳng \(\left( d \right):x – 2y + m = 0\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{x – 3}}{{x + 1}}\) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1.

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} – 6m – 23 > 0}\\ {{{\left( { – 1} \right)}^2} + \left( {m – 1} \right)\left( { – 1} \right) + 6 + m \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m <3 – 4\sqrt 2} \\ {m >3 + 4\sqrt 2} \end{array}} \right. }\\ {\forall m} \end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m <\frac{{3 – 4\sqrt 2 }}{2}} \\{m >\frac{{3 + 4\sqrt 2 }}{2}} \end{array}} \right.\) .