Đề bài: Cho hàm số: $y = x^3 – (2m + 1)x^2 + (m^2 – 3m + 2)x + 4$$1$. Khảo sát hàm số khi $m = 1$$2$. Trong trường hợp tổng quát, hãy xác định tất cả các tham số $m$ để đồ thị của hàm số đã cho có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía của trục tung.
Lời giải
$1.$ $2.$ Với $m=1,$ hàm số có dạng:
$y=x^3-3x^2+4$
* TXĐ: $R$
* Sự biến thiên:
$\mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty }= \mathop {\lim x^3 \left ( 1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^3} \right ) }\limits_{x \to + \infty }=+ \infty $
$\mathop {\lim y}\limits_{x \to -\infty }=- \infty $
Có: $y’=3x^2-6x$
$y’=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=0 \\ x=2 \end{gathered} \right. $
BBT:
Hàm số đồng biến trên $(- \infty ; 0)$ và $(2;+\infty )$
Hàm số nghịch biến trên $(0;2)$
Hàm số đạt cực đại tại $x=0, y_{CĐ}=4$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2, y_{CT}=0$
* Đồ thị
$\cap Ox:$ $x^3-3x^2+4=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=-1 \\ x=2 \end{gathered} \right. $
Đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại $(-1;0), (2;0 )$
Giao $Oy$ tại $(0;4)$
$y”=6x-6$
$y”=0 \Leftrightarrow x=1$
Vậy đồ thị hàm số nhận $(1;2)$ làm tâm đối xứng.
Đồ thị:
$2.$ $y^’=3x^2-2(2m+1)x+(m^2-3m+2)$
Đồ thị có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở hai phía trục tung thì $y^’=0 $ có hai nghiệm trái dấu (tức hoành độ của cực đại và cực tiểu sẽ trái dấu)
$\Leftrightarrow 3.(m^2-3m+2)
Trả lời