Đề: Cho hàm số:  $y = x + \sqrt {4{x^2} + 2x + 1} $.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.2) Xác định tất cả các điểm trên trục tung, sao cho từ mỗi điểm ấy ta có thể vẽ được ít nhất  một tiếp tuyến đến đồ thị

Đề bài: Cho hàm số:  $y = x + \sqrt {4{x^2} + 2x + 1} $.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.2) Xác định tất cả các điểm trên trục tung, sao cho từ mỗi điểm ấy ta có thể vẽ được ít nhất  một tiếp tuyến đến đồ thị

Lời giải

$1)$ $4{x^2} + 2x + 1 = 3{x^2} + {(x + 1)^2} > 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}}$ nên hàm số xác định với mọi $x$.
Tiệm cận xiên của đồ thị (về phía phải) là $y = {\rm{ax}} + b$, trong đó
$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x + \sqrt {4{x^2} + 2x + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {1 + \sqrt {4 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} } \right) = 3$,
$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x + \sqrt {4{x^2} + 2x + 1}  – 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 2x + 1}  – 2x} \right)$
   $=\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{4x^2} + 2x + 1}  + 2x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{2 + 1/x}}{{\sqrt {4 + 2/x + 1/{x^2}}  + 2}}} \right) = \frac{1}{2}$

Tương tự ta có tiệm cận xiên của đồ thị (về phía trái) là $y = {a_1}x + {b_1}$, trong đó ${a_1} = – 1,{\rm{ }}{{\rm{b}}_1} = – 1/2$.
Ta có:
$y’ = 1 + \frac{{4x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 1} }} = \frac{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 1}  + 4x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 1} }}$
$y’ = 0 \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} + 2x + 1}  =  – (4x + 1) $
$\Rightarrow 4{x^2} + 2x + 1 = 16{x^2} + 8x + 1 \Leftrightarrow x(2x + 1) = 0$
$ \Leftrightarrow x = 0$ : loại, $x = – 1/2$.
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số:
Bạn đọc vẽ ồ thị và bảng biến thiên

$2)$ Gọi $({x_o},{y_o})$ là tọa độ tiếp điểm của đồ thị và tiếp tuyến, thế thì phương trình tiếp tuyến sẽ là
    $y = y'({x_o})(x – {x_o}) + {y_o}$
$ \Leftrightarrow y = \left( {1 + \frac{4}{{\sqrt {4x_o^2 + 2{x_o} + 1} }}} \right)(x – {x_o}) + ({x_o} + \sqrt {4x_o^2 + 2{x_o} + 1} )$
Cho $x = 0$ ta được giao điểm $I(0,{\rm{ }}\overline y )$ của tiếp tuyến với trục tung:  $\bar y = \frac{{{x_o} + 1}}{{\sqrt {4x_o^2 + 2{x_o} + 1} }}$
a) ${x_o} = – 1 \Rightarrow \bar y = 0$
b) ${x_o} > – 1 \Rightarrow \bar y = \frac{1}{{\sqrt {3{x^2}/{{({x_o} + 1)}^2} + 1} }} \Rightarrow 0 c) ${x_o} Vậy các điểm trên trục tung phải tìm là khoảng $( – 1/2{\rm{ ; 1]}}$