Đề bài: Cho hàm số $y = f(x) = {x^4} + 2m{x^2} + m$, m là tham số$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m =-1.$$2$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $f(x) > 0$ với mọi $x$.Với các giá trị $m$ tìm được ở trên, chứng minh rằng hàm số :$F(x) = f(x) + f'(x) + f''(x) + f'''(x) + {f^{(4)}}x > 0 \forall x$$(f^{(4)} (x$) là kí hiệu đạo hàm cấp $4$ của hàm số $f(x)$ tại điểm $x)$
Lời giải
Giải
$1$). Bạn đọc tự giải.
$2$). Tìm $m$ để $f(x) = {x^4} + 2m{x^2} + m > 0 \forall x$
+ Cần: $f(x) > 0\forall x => f(0) > 0 => m > 0$
+ Đủ: $m > 0 => f(x) ={x^4} + 2m{x^2} + m> 0 \forall x$
Đáp số: $m > 0.$
Chứng minh khi $m > 0$ thì $F(x) > 0 \forall x$. Tính đạo hàm từ cấp $1$ đến cấp $4$ của $f(x$) ta được:
$\begin{array}{l}
F(x) = {x^4} + 4{x^3} + (2m + 12){x^2} + (24 + 4m)x + 5m + 24\\
= {({x^2} + 2x)^2} + m(2{x^2} + 4x + 5) + 8({x^2} + 3x + 3) > 0\forall x,\forall m > 0
\end{array}$
Trả lời