Đề bài: Cho hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ (1)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $a = c = 1;b = d = 0$.2) Giả sử $a > 0$. Chứng minh rằng trong số các tiếp tuyến của (1) thì tiếp tuyến tại điểm uốn sẽ có hệ số góc nhỏ nhất
Lời giải
$1) $Dành cho bạn đọc
$2)$ Ta có
$y’ = 3a{x^2} + 2bx + c,{\rm{ y”}} = 6ax + 2b$.
$y” = 0$ khi $6ax + 2b = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{x}} = – \frac{{2b}}{{6a}} = – \frac{b}{{3a}} = {x_o}$, do đó ${x_o}$ là hoành độ điểm uốn.
Hoành độ đỉnh của parabol $y’$ là ${x_d} = \frac{{ – 2b}}{{2.3a}} = \frac{{ – b}}{{3a}}$
Do $a > 0$ nên $\min y’ = y'( – b/3a) \Rightarrow y’ > y'( – b/3a),{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ne {{\rm{x}}_d}$, trong đó $y'( – b/3a)$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn.
Vậy tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất
Trả lời