Lời giải
$1.$ Do định lý ba đường vuông góc ta có : góc $(SDC)=90^0$
$\Rightarrow $ hình chóp $S.ABCD$ nội tiếp hình cầu đường kính $SC$
Ta có : $AC^2=2a^2; SA^2=(2a)^2$
$\Rightarrow SC^2=2a^2+4a^2=6a^2\Rightarrow SC=a\sqrt{6} $
$\Rightarrow $thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ bằng
$V=\frac{4}{3}\pi(\frac{a\sqrt{6} }{2} )^3=a^3\sqrt{6}\pi $
$2.$
Ta có $SA\bot NA;SA\bot MA$
$\Rightarrow $các mặt phẳ ng $(SAM)$ và $(SAN)$tạo với nhau một góc $(MAN)$
Nếu góc $(MNA)=45^0$ thì $\alpha +\beta=45^0$(hình vẽ)
$\Rightarrow tan(\alpha +\beta)=1$
$\Leftrightarrow tan\alpha +tan \beta=1-tan\alpha.tan\beta$
$\Rightarrow \frac{a-n}{a}+\frac{a-m}{a} =1-\frac{(a-n)(a-m)}{a^2} $
$2a^2-2(m+n)a+mn=0$
Trả lời