Đề bài: Trong mặt phẳng ($P$) cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a, S$ là một điểm bất kì nằm trên đường thẳng $At $ vuông góc với mặt phẳng $(P$) tại $A$.$1.$ Tính theo $a$ thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ khi $SA = 2a$.$2$. $M, N$ lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh $CB, CD (M \in CB ;\,\,N \in CD)$ và đặt $CM = m, CN = n$. Tìm một biểu thức liên hệ giữa $m$ và $n$ để các mặt phẳng $(SMA)$ và $(SAN)$ tạo với nhau một góc ${45^0}$

Lời giải

$1.$ Do định lý ba đường vuông góc ta có : góc $(SDC)=90^0$
$\Rightarrow  $ hình chóp $S.ABCD$ nội tiếp hình cầu đường kính $SC$
Ta có : $AC^2=2a^2; SA^2=(2a)^2$
$\Rightarrow  SC^2=2a^2+4a^2=6a^2\Rightarrow  SC=a\sqrt{6} $
$\Rightarrow  $thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ bằng
$V=\frac{4}{3}\pi(\frac{a\sqrt{6} }{2} )^3=a^3\sqrt{6}\pi  $
$2.$

Ta có $SA\bot NA;SA\bot MA$
$\Rightarrow  $các mặt phẳ ng $(SAM)$ và $(SAN)$tạo  với nhau một góc $(MAN)$
Nếu góc $(MNA)=45^0$ thì $\alpha +\beta=45^0$(hình vẽ)
$\Rightarrow  tan(\alpha +\beta)=1$
$\Leftrightarrow  tan\alpha +tan \beta=1-tan\alpha.tan\beta$
$\Rightarrow  \frac{a-n}{a}+\frac{a-m}{a} =1-\frac{(a-n)(a-m)}{a^2} $
$2a^2-2(m+n)a+mn=0$