Đề bài: Chứng minh rằng: với mọi $\triangle  ABC$:$(\tan \frac{A}{2})^{2\sqrt{2}}+(\tan \frac{B}{2})^{2\sqrt{2}}+(\tan \frac{C}{2})^{2\sqrt{2}} \geq 3^{1-\sqrt{2}}$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng: với mọi $\triangle  ABC$:$(\tan \frac{A}{2})^{2\sqrt{2}}+(\tan \frac{B}{2})^{2\sqrt{2}}+(\tan \frac{C}{2})^{2\sqrt{2}} \geq 3^{1-\sqrt{2}}$
Lời giải

Xét $f(x)=(\tan x)^{2\sqrt{2}},x \in (0,\frac{\pi}{2}),$
$f'(x)=\frac{2\sqrt{2}(\tan x)^{2\sqrt{2}-1}}{\cos^{2}x},$
$f”(x)=2\sqrt{2}[\frac{2\sin x}{\cos^{3}x}(\tan x)^{2\sqrt{2}-1}+\frac{2\sqrt{2}-1}{\cos^{4}x}(\tan x)^{2\sqrt{2}-2}]>0$
$\Rightarrow f$ là hàm số lõm trên $(0,\frac{\pi}{2})$
Theo BĐT Jensen:
$f(\frac{A}{2})+f(\frac{B}{2})+f(\frac{C}{2}) \geq 2f(\frac{\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}}{3})$
$\Leftrightarrow (\tan \frac{A}{2})^{2\sqrt{2}}+(\tan \frac{B}{2})^{2\sqrt{2}}+(\tan \frac{C}{2})^{2\sqrt{2}}\geq 3[\tan (\frac{A+B+C}{6})]^{2\sqrt{2}}=3^{1-\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow (\tan \frac{A}{2})^{2\sqrt{2}}+(\tan \frac{B}{2})^{2\sqrt{2}}+(\tan \frac{C}{2})^{2\sqrt{2}} \geq 3^{1-\sqrt{2}}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \triangle  ABC$ đều.
$\Rightarrow $ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Ứng dụng hàm số để chứng minh Bất đẳng thức