Đề bài: Cho tứ diện $ABCD.$Một điểm $I$ thuộc đường thẳng $BD$ nhưng không thuộc đoạn thẳng $BD.$Một đường thẳng qua $I$, nằm trong mặt phẳng $(ABD)$ cắt $AB,AD$ theo thứ tự tại các điểm $K,L$ và đường thẳng qua $I$, nằm trong mặt phẳng $(BCD)$ cắt $CB,CD$ theo thứ tự tại $M,N$$a.$ Chứng minh bốn điểm $K,L,M,N$ đồng phẳng$b.$ $BN,DM$ cắt nhau tại $P$ và $BL,DK$ cắt nhau tại $Q;LM,KN$ cắt nhau tại $R$Chứng minh ba điểm $A,P,R$ thẳng hàng và ba điểm $C,R,Q$ cũng thẳng hàng$c.$ $KM,LN$ cắt nhau tại điểm $I$.Chứng minh điểm $J$ thuộc đường thẳng $AC$

Lời giải

$a) L,N$ nằm trong mặt phẳng $(IKM)$
$b)  P=BN\cap DM$
$\Rightarrow  P\in BN\Rightarrow  P\in (ABN)$
$P\in DM\Rightarrow  P\in (ADM)$
$P$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(ABM)$ và $(ADM)$
$R\in LM\cap KN$
$\Rightarrow  R\in LM\Rightarrow  R\in (ADM)$
$R\in KN\Rightarrow  R\in (ABN)$
$R$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(ADM),(ABN)$
Dễ thấy $A$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(ADM)$ và $(ABM)$.Vậy $A,P,Q$ là ba điểm chung của hai mặt phẳng $(ADM),(ABN)$ nên chúng thẳng hàng
Chứng minh tương tự $C,Q,R$ là ba điểm chung của hai mặt phẳng $(CBL),(CDK)$
$c) J\in LN\Rightarrow  J\in (ACD)$
$J\in KM\Rightarrow  J\in (ABC)$
$\Rightarrow  J$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(ACD),(ABC)$ nên $J$ phải thuộc giao tuyến $AC$ của hai mặt phẳng này