Lời giải
$a.$ Gọi $E$ là trung điểm của $AC$ ta có :
$EM//AB$ và $EM=\frac{a}{2} $
do đó $(AB,DM)=(MD,ME)$
Xét $\Delta DEM$ ta có :
$DM=DE=\frac{a\sqrt{3} }{2} $ trung tuyến trong tam giác đều
$cos\widehat{DME}=\frac{DM^2+EM^2-DE^2}{2DM.EM}=\frac{1}{2\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{3} }{6} $
Vậy ta được $cos(AB,DM)=\frac{\sqrt{3} }{6} $
$b.$ Gọi $O$ là trung điểm của $BD$ ta có :
$ON//AB$ và $ON=a$
$OM//CD$ và $OM=a$
do đó $(AB,CD)=(OM,ON)$
Gọi $I$ là trung điểm $MN$ trong $\Delta IME$ vuông tại $I$ ta có :
$sin\widehat{MOI}=\frac{IM}{OM} =\frac{\sqrt{3} }{2}\Rightarrow \widehat{MOI}=60^0 $
$\Rightarrow \widehat{MON}=2\widehat{MON}=120^0\Rightarrow (OM,ON)=180^0-120^0=60^0 $
Vậy ta được $(AB,CD)=60^0$
Trả lời