Đề bài: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=AD=a, AA'=b(a>0,b>0)$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CC'$a) Tính thể tích khối tứ diện $BDA'M$ theo $a$ và $b$b) Xác định tỉ số $\frac{a}{b} $ để hai mặt phẳng $(A'BD)$ và $(MBD)$ và vuông góc với nhau

Lời giải

a) Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như sau:
– Gốc $O\equiv A$
– Trục $Ox$ đi qua $AB$
– Trục $Oy$ đi qua $AD$
– Trục $Oz$ đi qua $AA’$

Khi đó: $A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), A'(0;0;b), c'(a;a;b)$
$\Rightarrow  M(a;a;\frac{b}{2} )\Rightarrow  \overrightarrow{A’M}=(a;a;-\frac{b}{2} ) $
$\overrightarrow{A’B}=(a;0;-b); \overrightarrow{A’D}=(0;a;-b)  $
$\Rightarrow  [\overrightarrow{A’B},\overrightarrow{A’D}  ]=(ab;ab;a^2)$
$\Rightarrow  V_{BDA’M}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{A’B},\overrightarrow{A’D}  ].\overrightarrow{A’M} | $
$\frac{1}{6}|a^2b+a^2b-\frac{a^2b}{2} |=\frac{a^2b}{4}$      (đvdt)

b) Vecto pháp tuyến của $(A’BD):\overrightarrow{n}_1=[\overrightarrow{A’B}, \overrightarrow{A’D}  ]=(ab;ab;a^2) $ hay $(b;b;a)$
Ta có: $\overrightarrow{MB}=(0;-a;-\frac{b}{2} ), \overrightarrow{MD}=(-a;0;-\frac{b}{2} )  $
Vecto pháp tuyến của $(MBD)$ cho bởi: $\overrightarrow{n}_2=[\overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MD}  ]=(\frac{ab}{2};\frac{ab}{2};-a^2  ) $ hay $(b;b;-2)$
Để $(A’BD)\bot (MBD)\Leftrightarrow  \overrightarrow{n}_1 .\overrightarrow{n}_2 =0\Leftrightarrow  b^2+b^2-2a^2=0$
$a^2=b^2\Leftrightarrow  a=b(a,b>0)$
Vậy $\frac{a}{b}=1 $