Đề bài:  Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Lấy $M, N$ lần lượt trên các cạnh $SB, SD$ sao cho: $\frac{{SB}}{{BM}} = \frac{{SN}}{{DN}} = 2$$1$. Mặt phẳng $(AMN)$ cắt cạnh $SC$ tại $P$. Tính tỉ số: $\frac{{SP}}{{CP}}$$2$. Tính thể tích hình chóp $S.AMPN$ theo thể tích $V$ của hình chóp $SABCD.$

Lời giải

$1)$ Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD; G$ là giao điểm $SI$ và $MN$, ta có: $\frac{{SG}}{{SI}} =
\frac{2}{3}$$A, G, P$ thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến $(AMN) \cap (SAC)$
$G$ là trọng tâm tam giác $SAC$ suy ra $P$ là trung điểm của $SC.$
Vậy $\frac{{SP}}{{CP}} = 1$
$2$) Ta có: ${V_{SAMNP}} = {V_{SAMP}} + {V_{SANP}}$
Lại có:
 $\frac{{{V_{SAMP}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SM.SP}}{{SB.SC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow
{V_{SAMP}} = \frac{{3{V_{SABC}}}}{3} = \frac{V}{6}$
Tương tự ${V_{SANP}} = \frac{V}{6}$$ \Rightarrow {V_{SAMPN}} = \frac{V}{3}$