[Dạng câu 50 Toán L2 – 2020] Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x,y} \right)\) thỏa \(1 < x \le 100\)và \({\log _2}\left( {y + \sqrt {x + y} } \right).{\log _x}2 = 2\)?

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x,y} \right)\) thỏa \(1 < x \le 100\) và \({\log _2}\left( {y + \sqrt {x + y} } \right).{\log _x}2 = 2\)?

Lời giải

Ta có \({\log _2}\left( {y + \sqrt {x + y} } \right).{\log _x}2 = 2 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {y + \sqrt {x + y} } \right) = \frac{2}{{{{\log }_x}2}}\) \( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {y + \sqrt {x + y} } \right) = 2{\log _2}x \Leftrightarrow {\log _2}\left( {y + \sqrt {x + y} } \right) = {\log _2}{x^2}\) \( \Leftrightarrow y + \sqrt {x + y} = {x^2} \Leftrightarrow \left( {x + y} \right) + \sqrt {x + y} = {x^2} + x\) \(\left( 1 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + t,\forall t > 1\).

Ta có \(f’\left( t \right) = 2t + 1 > 0,\forall t > 1\).

Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {1, + \infty } \right)\).

Khi đó, \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {x + y} } \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow \sqrt {x + y} = x \Leftrightarrow x + y = {x^2} \Leftrightarrow y = {x^2} – x\).

Dễ thấy ứng với mỗi số nguyên dương \(1 < x \le 100\) ta có \(1\) số nguyên dương \(y\) thỏa \(y = {x^2} – x\).

Vậy có tổng cộng \(100 – 2 + 1 = 99\) cặp số nguyên dương \(\left( {x,y} \right)\) thỏa yêu cầu đề bài.