(Đại học Hồng Đức – 2022) Cho hàm số \(f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx + c(a,b,c \in \mathbb{R})\) có hai điểm cực trị là \( – 1\) và 1. Gọi \(y = g(x)\) là hàm số bậc hai có đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ trùng với các điểm cực trị của \(f(x)\), đồng thời có đỉnh nằm trên đồ thị của \(f(x)\) với tung độ bằng 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) gần với giá trị nào nhất dưới đây?

A. 10.

B. 12.

C. 13.

D. 11.

Lời giải:.

Gọi \(I\) là toạ độ đỉnh của đồ thị hàm số \(g(x)\), dễ thấy \(I(0;2)\) và \(g(x) = – 2(x – 1)(x + 1)\) hay \(g(x) = – 2{x^2} + 2\)

Ta có: \(f\prime (x) = 3{x^2} + 2ax + b\).

Theo bài ra, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 – 2a + b = 0}\\{3 + 2a + b = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0}\\{b = – 3}\end{array} \Rightarrow f(x) = {x^3} – 3x + c} \right.} \right.\).

Vi I thuộc đồ thị của \(f(x)\), nên \(c = 2 \Rightarrow f(x) = {x^3} – 3x + 2\).

Xét \(f(x) – g(x) = {x^3} + 2{x^2} – 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = – 3}\\{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.\)

Diện tích hình phẳng cần tìm là

\(S = \int_{ – 3}^0 {\left| {{x^3} + 2{x^2} – 3x} \right|} dx + \int_0^1 {\left| {{x^3} + 2{x^2} – 3x} \right|} dx = \frac{7}{6} \approx 11,8\)\(\)