(Chuyên Vinh – 2022) Cho hàm số \(y = {x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e(b,c,d,e \in \mathbb{R})\) có các giá trị cực trị là 1,4 và 9. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(g(x) = \frac{{f\prime (x)}}{{\sqrt {f(x)} }}\) với trục hoành bằng

A. 4.

B. \(6.\)

C. 2.

D. 8.

Lời giải:

Chon B

Gọi \(m,n,p(m < n < p)\) lần lượt là các điểm cực trị của hàm số \(y = f(x)\).

Ta có bảng xét dấu của \(f\prime (x)\) như sau:

Khi đó hàm số đạt cực tiểu \(m,p\) và đạt cực đại tại \(x = n \Rightarrow f(n) = 9\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(g(x) = \frac{{f\prime (x)}}{{\sqrt {f(x)} }}\) với trục hoành là

\(\begin{array}{l}S = \int_m^p | g(x)|dx = \left| {\int_m^n g (x)dx} \right| + \left| {\int_n^p g (x)dx} \right| = \int_m^n g (x)dx – \int_n^p g (x)dx\\ = \left. {2[\sqrt {f(x)} ]} \right|_m^n – 2[\sqrt {f(x)} ]_n^p\\ = 2[\sqrt {f(n)} – \sqrt {f(m)} ] – 2[\sqrt {f(p)} – \sqrt {f(n)} ] = 4\sqrt {f(n)} – 2(\sqrt {f(m)} + \sqrt {f(p)} ) = 4.3 – 2 \cdot (1 + 2) = 6.\end{array}\)\(\)