(Chuyên Vinh – 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên đoạn \([1;2]\) thỏa mãn \(f(1) = 2,f(2) = 1\) và \(\int_1^2 {{{\left[ {xf\prime (x)} \right]}^2}} \;dx = 2\). Tich phân \(\int_1^2 {{x^2}} f(x)dx\) bằng

A. 4.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Lời giải:

Chọn \(\underline {\bf{D}} \)

Ta có: \(\int_1^2 {\frac{4}{{{x^2}}}} \;dx = – \left. {\frac{4}{x}} \right|_1^2 = 2;\quad \int_1^2 f \prime (x)dx = \left. {f(x)} \right|_1^2 = – 1\)

Vì \(\int_1^2 {\left[ {{{\left( {xf\prime (x)} \right)}^2} + 4f\prime (x) + \frac{4}{{{x^2}}}} \right]} dx = 0\) nên \(\int_1^2 {{{\left[ {xf\prime (x) + \frac{2}{x}} \right]}^2}} \;dx = 0\)

\( \Leftrightarrow f\prime (x) = – \frac{2}{{{x^2}}} \Rightarrow f(x) = \frac{2}{x} + C\)\(\)

Mà \(f(1) = 2 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f(x) = \frac{2}{x}\)

Khi đó \(\int_1^2 {{x^2}} f(x)dx = \int_1^2 {{x^2}} \cdot \frac{2}{{{x^2}}}\;dx = \left. {2x} \right|_1^2 = 3\).