(Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương – 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \((C),f(x)\) có đạo hàm xác định và liên tục trên khoảng \((0; + \infty )\) thỏa mãn điều kiện \(f\prime (x) = \ln x \cdot {f^2}(x),\forall x \in (0; + \infty )\). Biết \(f(x) \ne 0,\forall x \in (0; + \infty )\) và \(f(e) = 2\). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị \((C)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\).

A. \(y = – \frac{2}{3}x + 2\).

B. \(y = – \frac{2}{3}\).

C. \(y = \frac{2}{3}x + 1\).

D. \(y = \frac{2}{3}\).

Lời giải:

Ta có \(f\prime (x) = \ln x \cdot {f^2}(x) \Leftrightarrow \frac{{f\prime (x)}}{{{f^2}(x)}} = \ln x \Leftrightarrow {\left( {\frac{{ – 1}}{{f(x)}}} \right)^2} = \ln x\)

\( \Rightarrow \frac{{ – 1}}{{f(x)}} = \int {\ln } xdx = x\ln x – x + C\)\(\)

Với \(x = e\) ta có \(\frac{{ – 1}}{{f(e)}} = e\ln e – e + C\) mà \(f(e) = 2\)\( \Rightarrow \frac{{ – 1}}{2} = C\)\(\)

Suy ra \(f(x) = \frac{{ – 1}}{{x\ln x – x – \frac{1}{2}}}\)

Khi đó\({\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}f(1) = \frac{2}{3}\\f\prime (1) = \ln 1 \cdot {f^2}(1) = 0\end{array}\end{array}} \right.\)\(\)

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị \((C)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\) là:

\(\)

\(y = f\prime (x)(x – 1) + f(1) = \frac{2}{3}.\)\(\)