(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2022) Xét hàm só́ \(f\left( x \right) = {e^x} + \int_0^1 x f\left( x \right){\rm{d}}x\). Giá trị của \(f\left( {\ln 2022} \right)\) bằng bao nhiêu?

A. \(2022\).

B. \(2021\).

C. \(2023\).

D. \(2024\).

Lời giải:

Chọn D

Từ yêu cầu đề bài và đáp án, ta có thể đặt: \(f\left( x \right) = {e^x} + C\)

Khi đó: \(f\left( x \right) = {e^x} + \int_0^1 x f\left( x \right){\rm{d}}x \Leftrightarrow {e^x} + C = {e^x} + \int_0^1 x \left( {{e^x} + C} \right){\rm{d}}x\)

\( \Leftrightarrow {e^x} + C = {e^x} + \int_0^1 x {e^x}{\rm{d}}x + \int_0^1 {Cx} {\rm{d}}x\,\left( 1 \right)\).

Với: \(\int_0^1 x {e^x}{\rm{d}}x\), đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\{\rm{d}}v = {e^x}{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\v = {e^x}\end{array} \right.\).

Khi đó: \(\int_0^1 x {e^x}{\rm{d}}x = \left. {\left( {x{e^x}} \right)} \right|_0^1 – \int_0^1 {{e^x}} {\rm{d}}x\)\( = \left. {\left( {x{e^x}} \right)} \right|_0^1 – \left. {{e^x}} \right|_0^1 = \left. {\left( {x – 1} \right){e^x}} \right|_0^1\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {e^x} + C = {e^x} + \left. {\left( {x – 1} \right){e^x}} \right|_0^1 + \left. {\frac{C}{2}{x^2}} \right|_0^1\)

\( \Leftrightarrow C = \left. {\left[ {{e^x}\left( {x – 1} \right) + \frac{C}{2}{x^2}} \right]} \right|_0^1 \Leftrightarrow C = \frac{C}{2} + 1 \Leftrightarrow C = 2\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = {e^x} + 2 \Rightarrow f\left( {\ln 2022} \right) = 2024\).