(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2022) Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thoả mãn \(f\left( 2 \right) = – \frac{1}{{25}}\) và \(f’\left( x \right) = 4{x^3}{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) vói mọi \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị của \(f\left( 1 \right) – f\left( 0 \right)\) bằng

A. \(\frac{1}{{90}}\).

B. \( – \frac{1}{{90}}\).

C. \( – \frac{1}{{72}}\).

D. \(\frac{1}{{72}}\)

Lời giải:

Chọn A

Ta có: \(f’\left( x \right) = 4{x^3}{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} \Rightarrow \frac{{f’\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = 4{x^3}\)

\( \Leftrightarrow \int {\left( {\frac{{f’\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}} \right){\rm{d}}x} = \int {4{x^3}{\rm{d}}x} \Leftrightarrow – \frac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^4} + C\)

\( \Leftrightarrow – \frac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^4} + C \Rightarrow f\left( x \right) = – \frac{1}{{{x^4} + C}}\)

Với \(f\left( 2 \right) = – \frac{1}{{25}} \Leftrightarrow f\left( 2 \right) = – \frac{1}{{16 + C}} = – \frac{1}{{25}} \Rightarrow C = 9\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = – \frac{1}{{{x^4} + 9}} \Rightarrow f\left( 1 \right) – f\left( 0 \right) = – \frac{1}{{10}} + \frac{1}{9} = \frac{1}{{90}}\).