(Chuyên Hoàng Văn Thụ – Hòa Bình – 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm không âm trên \([0;1]\), thỏa mãn \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in [0;1]\) và \({[f(x)]^2} \cdot {\left[ {f\prime (x)} \right]^2}{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 1 + {[f(x)]^2}\). Nếu \(f(0) = \sqrt 3 \) thì giá trị \(f(1)\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {3;\frac{7}{2}} \right)\).

B. \(\left( {2;\frac{5}{2}} \right)\).

C. \(\left( {\frac{5}{2};3} \right)\).

D. \(\left( {\frac{3}{2};2} \right)\).

Lời giải:

Ta có: \({[f(x)]^2} \cdot {\left[ {f\prime (x)} \right]^2}{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 1 + {[f(x)]^2} \Leftrightarrow \frac{{{{[f(x)]}^2} \cdot {{\left[ {f\prime (x)} \right]}^2}}}{{1 + {{[f(x)]}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{f(x) \cdot f\prime (x)}}{{\sqrt {1 + {{[f(x)]}^2}} }} = \frac{1}{{{x^2} + 1}} \Rightarrow \int_0^1 {\frac{{f(x) \cdot f\prime (x)}}{{\sqrt {1 + {{[f(x)]}^2}} }}} dx = \int_0^1 {\frac{1}{{{x^2} + 1}}} dx \Rightarrow \int_0^1 {\frac{{f(x) \cdot f\prime (x)}}{{\sqrt {1 + {{[f(x)]}^2}} }}} dx = \int_0^1 {\frac{1}{{{x^2} + 1}}} dx\)

\( + \) Nếu đặt \(t = \sqrt {1 + {{[f(x)]}^2}} \Rightarrow dt = \frac{{f(x) \cdot f\prime (x)}}{{\sqrt {1 + {{[f(x)]}^2}} }}dx \Rightarrow VT = \int_2^{\sqrt {1 + {f^2}(1)} } d t = \sqrt {1 + {f^2}(1)} – 2\)

+ Nếu đặt \({\rm{ }}x = \tan u \Rightarrow dx = \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du\)

\( \Rightarrow VP = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}u}}} \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)dx = \frac{\pi }{4} \Rightarrow \sqrt {1 + {f^2}(1)} – 2 = \frac{\pi }{4} \Rightarrow f(1) = \sqrt {\frac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \pi + 3} \approx 2,6 \in \left( {\frac{5}{2};3} \right).\)

\(\)