Cho phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 1\) và \(x = 2\sqrt 2 \), biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) (\(1 \le x \le 2\sqrt 2 \)) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là \(x\) và \(\sqrt {{x^2} + 1} \). Thể tích của phần vật thể đã cho bằng

Cho phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 1\) và \(x = 2\sqrt 2 \), biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) (\(1 \le x \le 2\sqrt 2 \)) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là \(x\) và \(\sqrt {{x^2} + 1} \). Thể tích của phần vật thể đã cho bằng

A. \(\left( {9 – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)\pi .\)

B. \(\left( {\frac{{16\sqrt 2 – 1}}{3}} \right)\pi .\)

C. \(\frac{{16\sqrt 2 – 1}}{3}.\)

D. \(9 – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)

Lời giải:

Diện tích thiết diện là: \(S(x) = x.\sqrt {{x^2} + 1} \).

Thể tích phần vật thể đã cho là: \(V = \int\limits_1^{2\sqrt 2 } {x.\sqrt {{x^2} + 1} {\rm{d}}x} \).

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow t{\rm{d}}t = x{\rm{d}}x.\)

Với \(x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 ;{\rm{ }}\,x = 2\sqrt 2 \Rightarrow t = 3\).

\( \Rightarrow V = \int\limits_{\sqrt 2 }^3 {{t^2}{\rm{d}}t} = \left. {\frac{{{t^3}}}{3}} \right|_{\sqrt 2 }^3 = 9 – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.