Cho ${{I}_{1}}=\int{\left( {{e}^{x}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}$ và ${{I}_{2}}=\int{\left( {{e}^{2x-1}}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}$. Mỗi khẳng định dưới đây đúng hay sai?
a) ${{I}_{1}}={{e}^{x}}-\dfrac{1}{x}+C$
b) ${{I}_{2}}=\dfrac{{{e}^{2x-1}}}{2}+\ln \left| x \right|+C$
c) ${{I}_{1}}+{{I}_{2}}={{e}^{x}}+\dfrac{{{e}^{2x-1}}}{2}+C$
d) Gọi $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$, với $f\left( x \right)={{e}^{x}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$. Nếu $F\left( 1 \right)=e$ thì $F\left( \ln 2 \right)=1-\dfrac{1}{\ln 2}$.
Lời giải: (
(Đúng) ${{I}_{1}}={{e}^{x}}-\dfrac{1}{x}+C$
(Vì): Ta có ${{I}_{1}}=\int{\left( {{e}^{x}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}={{e}^{x}}-\dfrac{1}{x}+C$.
(Sai) ${{I}_{2}}=\dfrac{{{e}^{2x-1}}}{2}+\ln \left| x \right|+C$
(Vì): Ta có ${{I}_{2}}=\int{\left( {{e}^{2x-1}}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}=\dfrac{{{e}^{2x-1}}}{2}+\dfrac{1}{x}+C$. Do đó, khẳng định ${{I}_{2}}=\dfrac{{{e}^{2x-1}}}{2}+\ln \left| x \right|+C$ là sai.
(Đúng) ${{I}_{1}}+{{I}_{2}}={{e}^{x}}+\dfrac{{{e}^{2x-1}}}{2}+C$
(Vì): Ta có ${{I}_{1}}=\int{\left( {{e}^{x}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}={{e}^{x}}-\dfrac{1}{x}+{{C}_{1}}$ và ${{I}_{2}}=\int{\left( {{e}^{2x-1}}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}=\dfrac{{{e}^{2x-1}}}{2}+\dfrac{1}{x}+{{C}_{2}}$.
Khi đó ${{I}_{1}}+{{I}_{2}}=\left( {{e}^{x}}-\dfrac{1}{x}+{{C}_{1}} \right)+\left( \dfrac{{{e}^{2x-1}}}{2}+\dfrac{1}{x}+{{C}_{2}} \right)={{e}^{x}}+\dfrac{{{e}^{2x-1}}}{2}+C$, với $C={{C}_{1}}+{{C}_{2}}$.
(Sai) Gọi $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$, với $f\left( x \right)={{e}^{x}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$. Nếu $F\left( 1 \right)=e$ thì $F\left( \ln 2 \right)=1-\dfrac{1}{\ln 2}$.
(Vì): Ta có $F\left( x \right)=\int{\left( {{e}^{x}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}={{e}^{x}}-\dfrac{1}{x}+C$.
Vì $F\left( 1 \right)=e\Rightarrow {{e}^{1}}-\dfrac{1}{1}+C=e\Rightarrow e-1+C=e\Rightarrow C=1$.
Vậy $F\left( x \right)={{e}^{x}}-\dfrac{1}{x}+1$.
$F\left( \ln 2 \right)={{e}^{\ln 2}}-\dfrac{1}{\ln 2}+1=2-\dfrac{1}{\ln 2}+1=3-\dfrac{1}{\ln 2}$.
Do đó, khẳng định $F\left( \ln 2 \right)=1-\dfrac{1}{\ln 2}$ là sai.
(Đúng) ${{I}_{1}}={{e}^{x}}-\dfrac{1}{x}+C$
(Sai) ${{I}_{2}}=\dfrac{{{e}^{2x-1}}}{2}+\ln \left| x \right|+C$
(Đúng) ${{I}_{1}}+{{I}_{2}}={{e}^{x}}+\dfrac{{{e}^{2x-1}}}{2}+C$
(Sai) Gọi $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$, với $f\left( x \right)={{e}^{x}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$. Nếu $F\left( 1 \right)=e$ thì $F\left( \ln 2 \right)=1-\dfrac{1}{\ln 2}$.