A. \(\sqrt 5 \pi \).
B. \(\frac{{10\sqrt 2 \pi }}{3}\).
C. \(\frac{{8\sqrt 3 \pi }}{3}\).
D. \(\frac{{5\sqrt 3 \pi }}{3}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông \(SAB\).
Gọi \(SA = l\) là đường sinh, \(OA = R\) là bán kính và \(SO = h\) là đường cao của hình nón đã cho.
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(K\) là hình chiếu của \(O\) lên \(SI\).
Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện là \(\left( {\widehat {\,SO\,;\,\left( {SAB} \right)\,}} \right) = \widehat {\,OSK\,} = 30^\circ \).
\(\Delta SAB\) vuông cân tại \(S\) nên .
\( \Rightarrow AB = l.\sqrt 2 = 4 \Rightarrow \) Đường trung tuyến \(SI = \frac{1}{2}.AB = \frac{1}{2}.4 = 2\).
\(\Delta SOI\) vuông tại \(O\): \(\cos \widehat {OSI} = \frac{{SO}}{{SI}} \Rightarrow SO = SI.\cos 30^\circ = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \Rightarrow h = \sqrt 3 \).
Ta có: \(R = \sqrt {{l^2} – {h^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt 5 \).
Vậy thể tích của khối nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi .5.\sqrt 3 = \frac{{5\sqrt 3 \pi }}{3}\).
=======
Trả lời