Cho hình nón đỉnh \(S\) có đáy là hình tròn tâm \(O\). Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông có diện tích bằng \(4\). Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện bằng \(30^\circ \). Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh \(S\) có đáy là hình tròn tâm \(O\). Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông có diện tích bằng \(4\). Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện bằng \(30^\circ \). Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

A. \(\sqrt 5 \pi \).

B. \(\frac{{10\sqrt 2 \pi }}{3}\).

C. \(\frac{{8\sqrt 3 \pi }}{3}\).

D. \(\frac{{5\sqrt 3 \pi }}{3}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông \(SAB\).

Gọi \(SA = l\) là đường sinh, \(OA = R\) là bán kính và \(SO = h\) là đường cao của hình nón đã cho.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(K\) là hình chiếu của \(O\) lên \(SI\).

Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện là \(\left( {\widehat {\,SO\,;\,\left( {SAB} \right)\,}} \right) = \widehat {\,OSK\,} = 30^\circ \).

\(\Delta SAB\) vuông cân tại \(S\) nên .

\( \Rightarrow AB = l.\sqrt 2 = 4 \Rightarrow \) Đường trung tuyến \(SI = \frac{1}{2}.AB = \frac{1}{2}.4 = 2\).

\(\Delta SOI\) vuông tại \(O\): \(\cos \widehat {OSI} = \frac{{SO}}{{SI}} \Rightarrow SO = SI.\cos 30^\circ = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \Rightarrow h = \sqrt 3 \).

Ta có: \(R = \sqrt {{l^2} – {h^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt 5 \).

Vậy thể tích của khối nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi .5.\sqrt 3 = \frac{{5\sqrt 3 \pi }}{3}\).

=======