Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \((H)\) quanh trục hoành là \(V = \left( { – \frac{a}{b}\sqrt 3 + \frac{c}{d}} \right)\pi \), trong đó \(a,b,c,d \in {\mathbb{N}^*}\) và \(\frac{a}{b},\frac{c}{d}\) là các phân số tối giản. Tính \(P = a + b – c + d\).
A. \(P = 40.\)
B. \(P = 46.\)
C. \(P = 16.\)
D. \(P = 14.\)
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\sqrt {4 – {x^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}{x^3} \Leftrightarrow \frac{1}{{27}}{x^6} = 4 – {x^2} \Leftrightarrow {x^6} + 27{x^2} – 108 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Rightarrow x = \sqrt 3 \)
Ta thấy thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \((H)\) quanh trục hoành bằng \(V = {V_{\left( {{H_1}} \right)}} + {V_{\left( {{H_2}} \right)}}\) trong đó:
+) \(\left( {{H_1}} \right) = \left\{ {x \in \left[ {0;\sqrt 3 } \right],y = \frac{{\sqrt 3 }}{9}{x^3},Ox} \right\}\). Ta có:
\({V_{\left( {{H_1}} \right)}} = \pi \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{9}{x^3}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{1}{{27}}{x^6}{\rm{d}}x} = \left. {\frac{\pi }{{27}}.\frac{{{x^7}}}{7}} \right|_0^{\sqrt 3 } = \frac{{\pi \sqrt 3 }}{7}\).
+) \(\left( {{H_2}} \right) = \left\{ {x \in \left[ {\sqrt 3 ;2} \right],y = \sqrt {4 – {x^2}} ,Ox} \right\}\). Ta có:
\({V_{\left( {{H_2}} \right)}} = \pi \int\limits_{\sqrt 3 }^2 {{{\left( {\sqrt {4 – {x^2}} } \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_{\sqrt 3 }^2 {\left( {4 – {x^2}} \right){\rm{d}}x} = \pi \left. {\left( {4x – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{\sqrt 3 }^2\)
\( = \pi \left( {8 – \frac{8}{3}} \right) – \pi \left( {4\sqrt 3 – \sqrt 3 } \right) = \frac{{16\pi }}{3} – 3\pi \sqrt 3 \)
Ta có \(V = {V_1} + {V_2} = \frac{{16\pi }}{3} – 3\pi \sqrt 3 + \frac{{\pi \sqrt 3 }}{7} = \pi \left( { – \frac{{20\sqrt 3 }}{7} + \frac{{16}}{3}} \right)\).
Suy ra \(a = 20;b = 7;c = 16;d = 3\). Khi đó \(P = a + b – c + d = 14\).
=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.
Trả lời