Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\left( -\infty ;0 \right)$. Biết rằng $f’\left( x \right)=2x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$.
a) $f\left( 1 \right)=2$. Khi đó $f\left( x \right)={{x}^{2}}-\dfrac{1}{x}+2$.
b) $f\left( 1 \right)=0$. Phương trình $f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm.
c) Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ đi qua điểm $M\left( -1;5 \right)$. Khi đó $f\left( 2 \right)=\dfrac{7}{2}$.
d) $f\left( -2 \right)=\dfrac{1}{4}$. Hàm số $g\left( x \right)=xf\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.
Lời giải: (
(Đúng) $f\left( 1 \right)=2$. Khi đó $f\left( x \right)={{x}^{2}}-\dfrac{1}{x}+2$.
(Vì): $f\left( x \right)=\int{f’\left( x \right)dx}=\int{\left( 2x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)dx}={{x}^{2}}-\dfrac{1}{x}+C$.
$f\left( 1 \right)=2\Rightarrow {{1}^{2}}-\dfrac{1}{1}+C=2\Rightarrow 1-1+C=2\Rightarrow C=2$.
Suy ra $f\left( x \right)={{x}^{2}}-\dfrac{1}{x}+2$.
(Sai) $f\left( 1 \right)=0$. Phương trình $f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm.
(Vì): $f\left( x \right)=\int{{f}’\left( x \right)\text{d}x}=\int{\left( 2x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}={{x}^{2}}-\dfrac{1}{x}+C$.
$f\left( 1 \right)=0\Rightarrow {{1}^{2}}-\dfrac{1}{1}+C=0\Rightarrow 1-1+C=0\Rightarrow C=0$.
Suy ra $f\left( x \right)=x^2-\dfrac{1}{x}$.
Phương trình $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\dfrac{1}{x}=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-1=0\Leftrightarrow x=1$.
Vậy phương trình $f\left( x \right)=0$ có duy nhất một nghiệm, không phải hai nghiệm.
(Sai) Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ đi qua điểm $M\left( -1;5 \right)$. Khi đó $f\left( 2 \right)=\dfrac{7}{2}$.
(Vì): $f\left( x \right)=\int{{f}’\left( x \right)\text{d}x}=\int{\left( 2x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}={{x}^{2}}-\dfrac{1}{x}+C$.
Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ đi qua điểm $M\left( -1;5 \right) \Rightarrow f(-1)=5$.
$(-1)^2-\dfrac{1}{-1}+C=5 \Rightarrow 1+1+C=5 \Rightarrow 2+C=5 \Rightarrow C=3$.
Suy ra $f\left( x \right)={{x}^{2}}-\dfrac{1}{x}+3$.
$f\left( 2 \right)={{2}^{2}}-\dfrac{1}{2}+3=4-\dfrac{1}{2}+3=\dfrac{13}{2} \ne \dfrac{7}{2}$.
(Sai) $f\left( -2 \right)=\dfrac{1}{4}$. Hàm số $g\left( x \right)=xf\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.
(Vì): $f\left( x \right)=\int{{f}’\left( x \right)\text{d}x}=\int{\left( 2x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}={{x}^{2}}-\dfrac{1}{x}+C$.
$f\left( -2 \right)=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow (-2)^2-\dfrac{1}{-2}+C=\dfrac{1}{4} \Leftrightarrow 4+\dfrac{1}{2}+C=\dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \dfrac{9}{2}+C=\dfrac{1}{4} \Leftrightarrow C=-\dfrac{17}{4}$.
Suy ra $f\left( x \right)={{x}^{2}}-\dfrac{1}{x}-\dfrac{17}{4}$.
Hàm số $g\left( x \right)=xf\left( x \right)=x\left( {{x}^{2}}-\dfrac{1}{x}-\dfrac{17}{4} \right)={{x}^{3}}-1-\dfrac{17}{4}x$.
$g’\left( x \right)=3{{x}^{2}}-\dfrac{17}{4}$.
$g’\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}=\dfrac{17}{4}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{17}{12}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\dfrac{17}{12}}$.
Vì $x=\pm \sqrt{\dfrac{17}{12}}$ là hai nghiệm phân biệt, nên hàm số $y=g\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị, không phải 3 điểm cực trị.
(Đúng) $f\left( 1 \right)=2$. Khi đó $f\left( x \right)={{x}^{2}}-\dfrac{1}{x}+2$.
(Sai) $f\left( 1 \right)=0$. Phương trình $f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm.
(Sai) Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ đi qua điểm $M\left( -1;5 \right)$. Khi đó $f\left( 2 \right)=\dfrac{7}{2}$.
(Sai) $f\left( -2 \right)=\dfrac{1}{4}$. Hàm số $g\left( x \right)=xf\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.