Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số \(y = f(x) = {x^3} – 3x + 1\)và điểm \(M({x_0};{y_0})\)thuộc đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) như hình vẽ. Đường thẳng \(OM\) cắt đồ thị tại 3 điểm có hoành độ \({x_0},{x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_0} < – 1 < 0 < {x_1} < {x_2}\) và \({x_1}^2 + {x_0}{x_1} – {x_1}{x_2} = – 1\). Tỷ số diện tích \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) nằm trong khoảng nào dưới đây
A. . \(\left( {1;2} \right)\)
B. . \(\left( {2;3} \right)\)
C. \(\left( {3;4} \right)\).
D. \(\left( {4;5} \right)\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(M\left( {{x_0};{x_0}^3 – 3{x_0} + 1} \right)\)
Phương trình đường thẳng \(OM\): \(y = k(x – {x_0}) + {x_0}^3 – 3{x_0} + 1\), với \(k = \frac{{{x_0}^3 – 3{x_0} + 1}}{{{x_0}}}\)
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\,\,\,\,\,\,{x^3} – 3x + 1 = k(x – {x_0}) + {x_0}^3 – 3{x_0} + 1\)
\( \Leftrightarrow \,{x^3} – (k + 3)x + k{x_0} – {x_0}^3 + 3{x_0} = 0\)
\( \Leftrightarrow (x – {x_0})({x^2} + {x_0}x + {x_0}^2 – 3 – k) = 0\)
Suy ra \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} + {x_0}x + {x_0}^2 – 3 – k = 0\)
Mà theo đề bài ta có \({x_1}^2 + {x_0}{x_1} – {x_1}{x_2} = – 1\)nên ta được:
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}^2 + {x_0}{x_1} + {x_0}^2 – 3 – k = 0\\{x_1}^2 + {x_0}{x_1} – {x_0}^2 + 3 + k = – 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow 2({x_0}^2 – 3 – k) = 1\) \( \Rightarrow 2({x_0}^2 – 3) – 2.\frac{{{x_0}^3 – 3{x_0} + 1}}{{{x_0}}} = 1\)
\( \Leftrightarrow – {x_0} – 2 = 0\) \( \Rightarrow {x_0} = – 2\)
Vậy \(M\left( { – 2; – 1} \right)\);\({x_1} = \frac{{2 – \sqrt 2 }}{2}\); \({x_2} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\); đường thẳng \(OM\) là \(y = \frac{1}{2}x\)
Ta có \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\int\limits_{ – 2}^{\frac{{2 – \sqrt 2 }}{2}} {\left[ {({x^3} – 3x + 1) – \frac{1}{2}x} \right]dx} }}{{\int\limits_{\frac{{2 – \sqrt 2 }}{2}}^{\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}} {\left[ {\frac{1}{2}x – ({x^3} – 3x + 1)} \right]dx} }} = \frac{{514}}{{141}}\)
Để lại phản hồi