Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị \((C)\) như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = f\left( x \right)\,\)và \(y = f’\left( x \right)\)bằng \(\frac{{856}}{5}\). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \((C)\) và parabol \((P)\) đi qua ba điểm cực trị của đồ thị \((C)\).

A. \(\frac{{81}}{{20}}\). B. \(\frac{{81}}{{10}}\). C. \(\frac{{81}}{5}\). D. \(\frac{9}{{20}}\). Lời giải: Theo hình vẽ ta thấy đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tiếp xúc với trục hoành tại các điểm \(A\left( { – 2\,;\,0} \right)\), \(B\left( {1\,;0} \right)\) nên \(f\left( x \right) = a{\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x – 1} \right)^2}\,,(a \ne 0)\). Khi đó \(f’\left( x \right) = a(4{x^3} + 6{x^2} – 6x – 4)\). Xét phương trình \(f\left( x \right) = f’\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow a{\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x – 1} \right)^2} = a(4{x^3} + 6{x^2} – 6x – 4) \Leftrightarrow {x^4} – 2{x^3} – 9{x^2} + 2x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 1\\x = – 2\\x = 4\end{array} \right.\) Theo giả thiết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của \(f\left( x \right)\) và \(f’\left( x \right)\) là: \(\frac{{856}}{5}\). Nên ta có: \(\frac{{856}}{5} = a\int_{ – 2}^4 {\left| {{x^4} – 2{x^3} – 9{x^2} + 2x + 8} \right|{\rm{d}}x} \Leftrightarrow \frac{{856}}{5} = \frac{{428a}}{5} \Leftrightarrow a = 2\). Vậy \(f\left( x \right) = 2{\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x – 1} \right)^2}\,\)\( \Rightarrow f’\left( x \right) = 2(4{x^3} + 6{x^2} – 6x – 4)\) Ta có \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2(4{x^3} + 6{x^2} – 6x – 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 2\\x = – \frac{1}{2}\\x = 1\end{array} \right.\). \( \Rightarrow \)Đồ thị \((C)\) có ba điểm cực trị là \(A\left( { – 2\,;\,0} \right)\), \(B\left( {1\,;0} \right)\), \(C\left( { – \frac{1}{2}\,;\frac{{81}}{8}} \right)\). Giả sử phương trình parabol \((P)\) có dạng \(y = g(x) = m{x^2} + nx + p,{\rm{ }}\left( {m \ne 0} \right)\). Vì \((P)\) đi qua ba điểm \(A\left( { – 2\,;\,0} \right)\), \(B\left( {1\,;0} \right)\), \(C\left( { – \frac{1}{2}\,;\frac{{81}}{8}} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}g( – 2) = 0\\g\left( 1 \right) = 0\\g\left( { – \frac{1}{2}} \right) = \frac{{81}}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a – 2b + c = 0\\a + b + c = 0\\\frac{a}{4} – \frac{b}{2} + c = \frac{{81}}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{9}{2}\\b = – \frac{9}{2}\\c = 9\end{array} \right.\) \( \Rightarrow y = g(x) = – \frac{9}{2}{x^2} – \frac{9}{2}x + 9\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \((C)\) và parabol \((P)\) là \(S = \int\limits_{ – 2}^1 {\left| {2{{\left( {x + 2} \right)}^2}{{\left( {x – 1} \right)}^2} – \left( { – \frac{9}{2}{x^2} – \frac{9}{2}x + 9} \right)} \right|} {\rm{d}}x = \frac{{81}}{{20}}\).