Cho hàm số \(y = 4{x^3} – 3{x^2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ tạo thành hai miền hình phẳng có diện tích \({S_1},{S_2}\) như hình vẽ.

Khi \({S_2} = 12\) thì \({S_1}\) bằng

A. \(\frac{7}{2}\). B. \(3\). C. \(\frac{{875}}{{256}}\). D. \(\frac{{865}}{{256}}\). Lời giải: Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(y = mx\). Phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) là \(4{x^3} – 3{x^2} = mx \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\4{x^2} – 3x – m = 0\end{array} \right.\). Gọi \(b\) là nghiệm dương của phương trình hoành độ giao điểm trên \( \Rightarrow 4{b^2} – 3b = m\) \({S_2} = \int\limits_0^b {\left( {mx – 4{x^3} + 3{x^2}} \right)dx = \left. {\left( {\frac{1}{2}m{x^2} – {x^4} + {x^3}} \right)} \right|} _0^b = \frac{1}{2}m{b^2} – {b^4} + {b^3}\) Theo giả thiết \({S_2} = 12\)\( \Rightarrow \frac{1}{2}m{b^2} – {b^4} + {b^3} = 12\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {4{b^2} – 3b} \right){b^2} – {b^4} + {b^3} = 12\) \( \Leftrightarrow 2{b^4} – {b^3} – 24 = 0 \Rightarrow b = 2\) vì \(b > 0\)\( \Rightarrow m = 10\) Khi đó phương trình \(4{x^2} – 3x – m = 0\) trở thành \(4{x^2} – 3x – 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = – \frac{5}{4}\end{array} \right.\). Vậy \({S_1} = \int\limits_{ – \frac{5}{4}}^0 {\left( {4{x^3} – 3{x^2} – 10x} \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{875}}{{256}}.\)