Cho hàm số \(f(x) = 2{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(b\), \(c\), \(d\) là các số thực. Biết hàm số \(g(x) = f(x) + f'(x) + f”(x)\) có hai giá trị cực trị là \( – 3\) và \(6\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x) + 12}}\) và \(y = 1\) bằng

Câu hỏi:
Cho hàm số \(f(x) = 2{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(b\), \(c\), \(d\) là các số thực. Biết hàm số \(g(x) = f(x) + f'(x) + f”(x)\) có hai giá trị cực trị là \( – 3\) và \(6\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x) + 12}}\) và \(y = 1\) bằng

A. \(2\ln 2\).

B. ln162.

C. \( – \ln 2\).

D. ln2.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(f(x) = 2{x^3} + b{x^2} + cx + d \Rightarrow f'(x) = 6{x^2} + 2bx + c \Rightarrow f”(x) = 12x + 2b \Rightarrow f”'(x) = 12\).

Xét hàm số \(g(x) = f(x) + f'(x) + f”(x)\).

Ta có \(g'(x) = f'(x) + f”(x) + f”'(x) = f'(x) + f”(x) + 12\).

Theo giả thiết \(g(x) = f(x) + f'(x) + f”(x)\) có 2 cực trị là -3 và 6

\( \Rightarrow g'(x) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(m\), \(n\) và \(\left\{ \begin{array}{l}g(m) = – 3\\g(n) = 6\end{array} \right.\).

Xét phương trình\(\frac{{f(x)}}{{g(x) + 12}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow g(x) + 12 = f(x)\\ \Leftrightarrow g(x) + 12 – f(x) = 0\\ \Leftrightarrow f'(x) + f”(x) + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = n\end{array} \right..\end{array}\)

Diện tích hình phẳng cần tính là:

\(S = \left| {\int\limits_m^n {\left( {1 – \frac{{f(x)}}{{g(x) + 12}}} \right)dx} } \right| = \left| {\int\limits_m^n {\left( {\frac{{g(x) + 12 – f(x)}}{{g(x) + 12}}} \right)dx} } \right|\)

\( = \left| {\int\limits_m^n {\left( {\frac{{f(x) + f'(x) + f”(x) + 12 – f(x)}}{{g(x) + 12}}} \right)dx} } \right|\)

\(\begin{array}{l} = \left| {\int\limits_m^n {\left( {\frac{{f'(x) + f”(x) + 12}}{{g(x) + 12}}} \right)dx} } \right| = \left| {\int\limits_m^n {\left( {\frac{{g'(x)}}{{g(x) + 12}}} \right)dx} } \right|\\ = \left| {\ln \left| {g(x) + 12} \right|\left| \begin{array}{l}n\\m\end{array} \right.} \right| = \left| {\ln \left| {g(n) + 12} \right| – \ln \left| {g(m) + 12} \right|} \right|\\ = \left| {\ln 18 – \ln 9} \right| = \ln 2.\end{array}\)

=======