Cho hàm số $F\left( x \right)=\int{\sqrt{x}}\left( {{x}^{2}}-5x+1 \right)dx=\dfrac{a{{x}^{3}}\sqrt{x}}{b}-a{{x}^{2}}\sqrt{x}+\dfrac{a}{c}x\sqrt{x}+C\left( x{>}0 \right)$. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau:
a) $F\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{3}}\sqrt{x}}{7}-2{{x}^{2}}\sqrt{x}+\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+C$
b) Tổng $a+b+c=12$
c) Tích $a \cdot b \cdot c=42$
d) $F\left( 1 \right)=\dfrac{2002}{21}$ thì $F\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{3}}\sqrt{x}}{7}-2{{x}^{2}}\sqrt{x}+\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+2024$
Lời giải:
Ta có $F\left( x \right)=\int{\sqrt{x}}\left( {{x}^{2}}-5x+1 \right)dx$
$=\int{\left( {{x}^{2}}\cdot {{x}^{\frac{1}{2}}}-5x\cdot {{x}^{\frac{1}{2}}}+{{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}dx$
$=\int{\left( {{x}^{\frac{5}{2}}}-5{{x}^{\frac{3}{2}}}+{{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}dx$
$=\dfrac{{{x}^{\frac{5}{2}+1}}}{\frac{5}{2}+1}-5\dfrac{{{x}^{\frac{3}{2}+1}}}{\frac{3}{2}+1}+\dfrac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}+C$
$=\dfrac{{{x}^{\frac{7}{2}}}}{\frac{7}{2}}-5\dfrac{{{x}^{\frac{5}{2}}}}{\frac{5}{2}}+\dfrac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}+C$
$=\dfrac{2}{7}{{x}^{\frac{7}{2}}}-5\cdot \dfrac{2}{5}{{x}^{\frac{5}{2}}}+\dfrac{2}{3}{{x}^{\frac{3}{2}}}+C$
$=\dfrac{2}{7}{{x}^{3}}\sqrt{x}-2{{x}^{2}}\sqrt{x}+\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+C$.
(1)
So, $F\left( x \right)=\dfrac{a{{x}^{3}}\sqrt{x}}{b}-a{{x}^{2}}\sqrt{x}+\dfrac{a}{c}x\sqrt{x}+C$ is given.
Comparing the calculated form with the given form, we find $a=2, b=7, c=3$.
(Đúng) $F\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{3}}\sqrt{x}}{7}-2{{x}^{2}}\sqrt{x}+\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+C$
(Vì): Dựa vào tính toán tích phân ở phần lời giải, ta có $F\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{3}}\sqrt{x}}{7}-2{{x}^{2}}\sqrt{x}+\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+C$. Khẳng định đúng.
(Đúng) Tổng $a+b+c=12$
(Vì): Theo lời giải, ta có $a=2, b=7, c=3$. Do đó, $a+b+c=2+7+3=12$. Khẳng định đúng.
(Đúng) Tích $a \cdot b \cdot c=42$
(Vì): Theo lời giải, ta có $a=2, b=7, c=3$. Do đó, $a \cdot b \cdot c=2 \cdot 7 \cdot 3=42$. Khẳng định đúng.
(Sai) $F\left( 1 \right)=\dfrac{2002}{21}$ thì $F\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{3}}\sqrt{x}}{7}-2{{x}^{2}}\sqrt{x}+\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+2024$
(Vì): Theo lời giải, ta có $F(1) = \dfrac{2}{7} – 2 + \dfrac{2}{3} + C = \dfrac{6-42+14}{21} + C = \dfrac{-22}{21} + C$.
Vì $F(1) = \dfrac{2002}{21}$, suy ra $\dfrac{-22}{21} + C = \dfrac{2002}{21} \Rightarrow C = \dfrac{2024}{21}$.
Do đó, $F(x) = \dfrac{2{{x}^{3}}\sqrt{x}}{7}-2{{x}^{2}}\sqrt{x}+\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+\dfrac{2024}{21}$.
Vì $2024 \ne \dfrac{2024}{21}$ nên khẳng định sai.
(Đúng) $F\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{3}}\sqrt{x}}{7}-2{{x}^{2}}\sqrt{x}+\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+C$
(Đúng) Tổng $a+b+c=12$
(Đúng) Tích $a \cdot b \cdot c=42$
(Sai) $F\left( 1 \right)=\dfrac{2002}{21}$ thì $F\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{3}}\sqrt{x}}{7}-2{{x}^{2}}\sqrt{x}+\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+2024$