Cho hàm số $f\left( x \right)=4{{\cos }^{2}}\dfrac{x}{2}$. Các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=2x+2\sin x+C$
b) Biết rằng $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=ax+b\sin x+C,\ a,b\in \mathbb{Z}$, khi đó $a+b=4$.
c) Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 0 \right)=1$ là $F\left( x \right)=2\left( x+\sin x \right)+1$.
d) Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=0$ là $F\left( x \right)=2\left( x+\sin x \right)-\pi$.
Lời giải: (
(Đúng) $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=2x+2\sin x+C$
(Vì): Ta có: $f\left( x \right)=4{{\cos }^{2}}\dfrac{x}{2}=4 \dfrac{1+\cos x}{2} = 2+2\cos x$.
Vậy $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\int{\left( 2+2\cos x \right)\text{d}x}=2x+2\sin x+C$.
(Đúng) Biết rằng $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=ax+b\sin x+C,\ a,b\in \mathbb{Z}$, khi đó $a+b=4$.
(Vì): Ta có: $f\left( x \right)=4{{\cos }^{2}}\dfrac{x}{2}=2(1+\cos x)=2+2\cos x$.
Do đó $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\int{\left( 2+2\cos x \right)\text{d}x}=2x+2\sin x+C$.
So sánh với $ax+b\sin x+C$, ta có $a=2, b=2$.
Vậy $a+b=2+2=4$.
(Đúng) Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 0 \right)=1$ là $F\left( x \right)=2\left( x+\sin x \right)+1$.
(Vì): Ta có $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)\text{d}x}=2x+2\sin x+C$.
Theo giả thiết $F\left( 0 \right)=1 \Rightarrow 2(0)+2\sin(0)+C=1 \Rightarrow C=1$.
Vậy $F\left( x \right)=2x+2\sin x+1 = 2\left( x+\sin x \right)+1$.
(Sai) Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=0$ là $F\left( x \right)=2\left( x+\sin x \right)-\pi$.
(Vì): Ta có $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)\text{d}x}=2x+2\sin x+C$.
Theo giả thiết $F\left( \dfrac{\pi}{2} \right)=0 \Rightarrow 2\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+C=0 \Rightarrow \pi+2+C=0 \Rightarrow C=-\pi-2$.
Vậy $F\left( x \right)=2x+2\sin x-\pi-2 = 2\left( x+\sin x \right)-\pi-2$.
Do đó, $F\left( x \right)=2\left( x+\sin x \right)-\pi$ là sai.
(Đúng) $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=2x+2\sin x+C$
(Đúng) Biết rằng $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=ax+b\sin x+C,\ a,b\in \mathbb{Z}$, khi đó $a+b=4$.
(Đúng) Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 0 \right)=1$ là $F\left( x \right)=2\left( x+\sin x \right)+1$.
(Sai) Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=0$ là $F\left( x \right)=2\left( x+\sin x \right)-\pi$.