Cho hàm số \(f\left( x \right) = – {x^3} + b{x^2} + cx + d{\rm{ }}\left( {b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\) có hai điểm cực trị là \( – 1\), \(\frac{5}{3}\) và có đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( – 2\). Gọi \(y = g\left( x \right)\) là hàm số bậc hai có đồ thị là một Parabol đi qua điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và có đỉnh là \(I\left( {1;2} \right)\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) có giá trị thuộc khoảng nào sau đây

B. \(\left( {9;10} \right)\).

C. \(\left( {7;8} \right)\).

D. \(\left( {3;4} \right)\).

Lời giải:

Ta có: \(f’\left( x \right) = – 3{x^2} + 2bx + c\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị là \( – 1\) và \(\frac{5}{3}\) và có đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( – 2\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( { – 1} \right) = 0\\f’\left( {\frac{5}{3}} \right) = 0\\f\left( 0 \right) = – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 3 – 2b + c = 0\\ – \frac{{25}}{3} + \frac{{10}}{3}b + c = 0\\d = – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2b + c = 3\\\frac{{10}}{3}b + c = \frac{{25}}{3}\\d = – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\c = 5\\d = – 2\end{array} \right.\)

Do đó: \(f\left( x \right) = – {x^3} + {x^2} + 5x – 2\)

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = – {x^3} + {x^2} + 5x – 2\) có điểm cực tiểu là \(\left( { – 1; – 5} \right)\)

Giả sử, \(y = g\left( x \right) = m{x^2} + nx + p{\rm{ }}\left( {m \ne 0} \right)\).

Do đồ thị của hàm số \(y = g\left( x \right)\) đi qua điểm cực tiểu \(\left( { – 1; – 5} \right)\) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và có đỉnh là \(I\left( {1;2} \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}m – n + p = – 5\\m + n + p = 2\\ – \frac{n}{{2m}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m – n + p = – 5\\m + n + p = 2\\2m + n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = – \frac{7}{4}\\n = \frac{7}{2}\\p = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

Do đó: \(y = g\left( x \right) = – \frac{7}{4}{x^2} + \frac{7}{2}x + \frac{1}{4}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là:

\( – {x^3} + {x^2} + 5x – 2 = – \frac{7}{4}{x^2} + \frac{7}{2}x + \frac{1}{4} \Leftrightarrow – {x^3} + \frac{{11}}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x – \frac{9}{4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = \frac{3}{4}\\x = – 1\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\(S = \int\limits_{ – 1}^3 {\left| { – {x^3} + \frac{{11}}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x – \frac{9}{4}} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ – 1}^{\frac{3}{4}} {\left| { – {x^3} + \frac{{11}}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x – \frac{9}{4}} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_{\frac{3}{4}}^3 {\left| { – {x^3} + \frac{{11}}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x – \frac{9}{4}} \right|{\rm{d}}x} \)

\( = – \int\limits_{ – 1}^{\frac{3}{4}} {\left( { – {x^3} + \frac{{11}}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x – \frac{9}{4}} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{\frac{3}{4}}^3 {\left( { – {x^3} + \frac{{11}}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x – \frac{9}{4}} \right){\rm{d}}x} \approx 8,25\)