Cho hàm số \(f\left( x \right)\) với đồ thị là Parabol đỉnh \(I\) có tung độ bằng \( – \frac{7}{{12}}\) và hàm số bậc ba \(g\left( x \right)\). Đồ thị hai hàm số đó cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2},{x_3}\) thoả mãn \(18{x_1}{x_2}{x_3} = – 55\) .

Diện tích miền tô đậm gần số nào nhất trong các số sau đây?

A. 5,7. B. 5,9. C. 6,1. D. 6,3. Lời giải: Ta có: \({x_I} = \frac{{ – 1 + 2}}{2} = \frac{1}{2}\). Lúc này ta có \(I\left( {\frac{1}{2}, – \frac{7}{{12}}} \right)\) và \(\left( P \right):f\left( x \right) = a\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\). Ta có \(I\left( {\frac{1}{2}, – \frac{7}{{12}}} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow a = \frac{7}{{27}} \Rightarrow \)\(f\left( x \right) = \frac{7}{{27}}\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\). Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực trị tại \(x = – 1,x = 2\) nên \(g’\left( x \right) = a\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) \Rightarrow g\left( x \right) = a\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} – 2x} \right) + b\) Đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) đi qua \(I\) nên \(g\left( {\frac{1}{2}} \right) = – \frac{7}{{12}} \Leftrightarrow – \frac{7}{{12}} = – \frac{{13}}{{12}}a + b,\) \(\left( 1 \right)\). Phương trình hoành độ giao điểm: \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow a\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} – 2x} \right) + b = \frac{7}{{27}}\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\) Theo định lý viet ta có: \(18{x_1}{x_2}{x_3} = – 55 \Leftrightarrow 18.\frac{{b + \frac{{14}}{{27}}}}{{\frac{a}{3}}} = 55 \Rightarrow 18b + \frac{{28}}{3} = \frac{{55a}}{3}\) \(\left( 2 \right)\) Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) ta được \(a = 1,b = \frac{1}{2} \Rightarrow g\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} – 2x + \frac{1}{2}\). Phương trình hoành độ giao điểm là \(\frac{7}{{27}}\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} – 2x + \frac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = \frac{{8 + \sqrt {559} }}{9}\\x = \frac{{8 – \sqrt {559} }}{9}\end{array} \right.\) Từ đó suy ra diện tích miền tô đậm là \(S = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{8 + \sqrt {559} }}{9}} {\left( {\frac{7}{{27}}\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) – \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + 2x – \frac{1}{2}} \right)dx \approx 5,7} \).