Bài toán gốc
Cho hàm số $f$ liên tục trên khoảng $K$ chứa $a, b, c$ và $a {<} c {<} b$. Khẳng định nào sau đây sai? A. $\displaystyle \int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x = \displaystyle \int\limits_a^c f(x)\mathrm{d}x - \displaystyle \int\limits_b^c f(x)\mathrm{d}x$. B. $\displaystyle \int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x = - \displaystyle \int\limits_b^a f(u) \mathrm{d}u$. **C. $\displaystyle \int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x \neq \displaystyle \int\limits_a^b f(t) \mathrm{d} t$. D. $\displaystyle \int\limits_a^a f(x)\mathrm{d}x =0$. Lời giải: Khẳng định $\displaystyle \int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x \neq \displaystyle \int\limits_a^b f(t) \mathrm{d}t$ là sai.
Phân tích và Phương pháp giải
Bài toán kiểm tra kiến thức về các tính chất cơ bản của tích phân xác định, bao gồm: 1) Tính chất đổi cận: $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = -\int_b^a f(x)\mathrm{d}x$. 2) Quy tắc cộng (Chasles): $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\mathrm{d}x + \int_c^b f(x)\mathrm{d}x$. 3) Tính chất không phụ thuộc vào biến tích phân: $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^b f(t)\mathrm{d}t$. 4) Tích phân với cận trên bằng cận dưới: $\int_a^a f(x)\mathrm{d}x = 0$. Phương pháp giải là so sánh các khẳng định với các tính chất đã được chứng minh.
Bài toán tương tự
**1. Bài toán tương tự:** Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a, b]$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào ĐÚNG? A. $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \displaystyle \int_b^a f(x) \mathrm{d}x$. B. $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = -\displaystyle \int_b^a f(x) \mathrm{d}x$. C. $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \displaystyle \int_a^c f(x) \mathrm{d}x – \displaystyle \int_c^b f(x) \mathrm{d}x$ (với $a < c < b$). D. $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \displaystyle \int_a^b f(u) \mathrm{d}x$. Đáp án đúng: B. Giải thích: Theo tính chất đổi cận của tích phân xác định, ta có $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = -\displaystyle \int_b^a f(x) \mathrm{d}x$. **2. Bài toán tương tự:** Cho hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $a < b < c$. Mệnh đề nào sau đây SAI? A. $\displaystyle \int_a^c f(x) \mathrm{d}x = \displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x + \displaystyle \int_b^c f(x) \mathrm{d}x$. B. $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x + \displaystyle \int_c^a f(x) \mathrm{d}x = \displaystyle \int_c^b f(x) \mathrm{d}x$. C. $\displaystyle \int_a^a f(x) \mathrm{d}x = 0$. D. $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \displaystyle \int_b^a f(x) \mathrm{d}x$. Đáp án đúng: D. Giải thích: Tính chất đúng là $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = -\displaystyle \int_b^a f(x) \mathrm{d}x$. Khẳng định D (thiếu dấu trừ) là sai. Khẳng định B là đúng vì $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x + \displaystyle \int_c^a f(x) \mathrm{d}x = \displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x - \displaystyle \int_a^c f(x) \mathrm{d}x$. Áp dụng quy tắc Chasles ngược lại: $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x - (\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x + \displaystyle \int_b^c f(x) \mathrm{d}x) = -\displaystyle \int_b^c f(x) \mathrm{d}x = \displaystyle \int_c^b f(x) \mathrm{d}x$. **3. Bài toán tương tự:** Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên đoạn $[a, b]$ và $k$ là một hằng số. Khẳng định nào sau đây là SAI? A. $\displaystyle \int_a^b [f(x) – g(x)] \mathrm{d}x = \displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x – \displaystyle \int_a^b g(x) \mathrm{d}x$. B. $\displaystyle \int_a^b k f(x) \mathrm{d}x = k \displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$. C. $\displaystyle \int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x = \displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \cdot \displaystyle \int_a^b g(x) \mathrm{d}x$. D. $\displaystyle \int_a^b [f(x) + g(x)] \mathrm{d}x = \displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x + \displaystyle \int_a^b g(x) \mathrm{d}x$. Đáp án đúng: C. Giải thích: Tích phân không có tính chất nhân đối với hàm số. Khẳng định C là sai. **4. Bài toán tương tự:** Cho $\displaystyle \int_1^5 f(x) \mathrm{d}x = 9$ và $\displaystyle \int_1^5 g(x) \mathrm{d}x = -3$. Tính giá trị của $I = \displaystyle \int_1^5 [2f(x) + g(x)] \mathrm{d}x$. A. $I = 15$. B. $I = 6$. C. $I = 21$. D. $I = 12$. Đáp án đúng: A. Giải thích: Áp dụng tính chất tuyến tính: $I = \displaystyle \int_1^5 2f(x) \mathrm{d}x + \displaystyle \int_1^5 g(x) \mathrm{d}x = 2 \displaystyle \int_1^5 f(x) \mathrm{d}x + \displaystyle \int_1^5 g(x) \mathrm{d}x = 2(9) + (-3) = 18 – 3 = 15$. **5. Bài toán tương tự:** Cho $\displaystyle \int_0^3 f(x) \mathrm{d}x = 5$. Tính giá trị của $J = \displaystyle \int_3^0 [4 – 3f(x)] \mathrm{d}x$. A. $J = -3$. B. $J = 27$. C. $J = 3$. D. $J = -27$. Đáp án đúng: C. Giải thích: Ta có $J = -\displaystyle \int_0^3 [4 – 3f(x)] \mathrm{d}x = -\left( \displaystyle \int_0^3 4 \mathrm{d}x – 3\displaystyle \int_0^3 f(x) \mathrm{d}x \right)$. Tính $\displaystyle \int_0^3 4 \mathrm{d}x = 4x \Big|_0^3 = 4(3) – 4(0) = 12$. Thay giá trị đã cho: $J = – (12 – 3(5)) = – (12 – 15) = – (-3) = 3.