Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx – \frac{1}{2}\) và \(g\left( x \right) = d{x^2} + ex + 1\), \(\left( {a,b,c,d,e \in \mathbb{R}} \right)\). Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( – 3\); \( – 1\); \(1\) . Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
Lời Giải:
Đây là các câu trắc nghiệm về ứng dụng tích phân mức độ 3,4 – VẬN DỤNG
A. \(8\).
B. \(5\).
C. \(\frac{9}{2}\).
D. \(4\).
Lời giải:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:
\(a{x^3} + b{x^2} + cx – \frac{1}{2} = d{x^2} + ex + 1\)\( \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b – d} \right){x^2} + \left( {c – e} \right)x – \frac{3}{2} = 0\).
Đặt \(h\left( x \right) = a{x^3} + \left( {b – d} \right){x^2} + \left( {c – e} \right)x – \frac{3}{2}\)
Dựa vào đồ thị ta có \(h\left( x \right) = a{x^3} + \left( {b – d} \right){x^2} + \left( {c – e} \right)x – \frac{3}{2}\) có ba nghiệm là \(x = – 3\); \(x = – 1\) và\(x = 1\).
Với \(x = – 3\) ta có \( – 27a + 9\left( {b – d} \right) – 3\left( {c – e} \right) = \frac{3}{2}{\rm{ }}\left( 1 \right)\).
Với \(x = – 1\) ta có \( – a + \left( {b – d} \right) – \left( {c – e} \right) = \frac{3}{2}{\rm{ }}\left( 2 \right)\).
Với \(x = 1\) ta có \(a + \left( {b – d} \right) + \left( {c – e} \right) = \frac{3}{2}{\rm{ }}\left( 3 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l} – 27a + 9\left( {b – d} \right) – 3\left( {c – e} \right) = \frac{3}{2}\\ – a + \left( {b – d} \right) – \left( {c – e} \right) = \frac{3}{2}\\a + \left( {b – d} \right) + \left( {c – e} \right) = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b – d = \frac{3}{2}\\c – e = – \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Hay ta có
\(S = \int\limits_{ – 3}^1 {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_{ – 3}^{ – 1} {\left| {\frac{1}{2}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} – \frac{1}{2}x – \frac{3}{2}} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {\frac{1}{2}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} – \frac{1}{2}x – \frac{3}{2}} \right|{\rm{d}}x} \)\( = 2 + 2 = 4\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Ứng dụng Tích phân
Trả lời