Bài toán gốc
Cho $f$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và là hàm chẵn thỏa $\displaystyle \int\limits_{-3}^3 f(x) \mathrm{d}x =10$. Khi đó $\displaystyle \int\limits_0^3 f(x) \mathrm{d}x$ bằng *
A. $5$.
B. $20$.
C. $-5$.
D. $10$. Lời giải: Do hàm số $f$ là chẵn nên $\displaystyle \int\limits_0^3 f(x) \mathrm{d}x =\dfrac{1}{2} \cdot \displaystyle \int\limits_{-3}^3 f(x) \mathrm{d}x =5.$
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán yêu cầu tính tích phân xác định dựa trên các tính chất của hàm số (hàm chẵn hoặc hàm lẻ) trên một khoảng đối xứng $[-a, a]$. Phương pháp giải cơ bản là áp dụng công thức: 1. Nếu $f(x)$ là hàm chẵn trên $[-a, a]$ thì $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \mathrm{d}x = 2 \displaystyle \int_0^a f(x) \mathrm{d}x$. 2. Nếu $f(x)$ là hàm lẻ trên $[-a, a]$ thì $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \mathrm{d}x = 0$.
Bài toán tương tự
5 bài toán tương tự:
**Câu 1:** Cho hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và là hàm chẵn. Biết $\displaystyle \int_{-5}^5 f(x) \mathrm{d}x = 16$. Khi đó, $\displaystyle \int_0^5 f(x) \mathrm{d}x$ bằng bao nhiêu?
A. 4.
B. 8.
C. 16.
D. 32.
Đáp án đúng: B.
Lời giải: Vì $f$ là hàm chẵn nên $\displaystyle \int_0^5 f(x) \mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{-5}^5 f(x) \mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} (16) = 8$.
**Câu 2:** Cho hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và là hàm chẵn. Nếu $\displaystyle \int_0^2 f(x) \mathrm{d}x = 7$, giá trị của $\displaystyle \int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d}x$ là:
A. 7.
B. 0.
C. 14.
D. 3.5.
Đáp án đúng: C.
Lời giải: Vì $f$ là hàm chẵn nên $\displaystyle \int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d}x = 2 \displaystyle \int_0^2 f(x) \mathrm{d}x = 2(7) = 14$.
**Câu 3:** Cho hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và là hàm lẻ. Khi đó, tích phân $\displaystyle \int_{-4}^4 f(x) \mathrm{d}x$ có giá trị bằng:
A. 8.
B. 4.
C. 0.
D. Không xác định.
Đáp án đúng: C.
Lời giải: Vì $f$ là hàm lẻ trên khoảng đối xứng $[-4, 4]$ nên $\displaystyle \int_{-4}^4 f(x) \mathrm{d}x = 0$.
**Câu 4:** Cho hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và là hàm chẵn. Biết $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d}x = -6$. Tính $\displaystyle \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x$.
A. 6.
B. -3.
C. 3.
D. -12.
Đáp án đúng: B.
Lời giải: Vì $f$ là hàm chẵn nên $\displaystyle \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} (-6) = -3$.
**Câu 5:** Cho hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và là hàm chẵn. Giả sử $\displaystyle \int_{-6}^6 f(x) \mathrm{d}x = 22$. Tính $\displaystyle \int_{-6}^0 f(x) \mathrm{d}x$.
A. 44.
B. 11.
C. 22.
D. 0.
Đáp án đúng: B.
Lời giải: Vì $f$ là hàm chẵn nên $\displaystyle \int_{-6}^0 f(x) \mathrm{d}x = \displaystyle \int_0^6 f(x) \mathrm{d}x$. Đồng thời, ta có $\displaystyle \int_{-6}^6 f(x) \mathrm{d}x = 2 \displaystyle \int_0^6 f(x) \mathrm{d}x$. Do đó, $\displaystyle \int_{-6}^0 f(x) \mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{-6}^6 f(x) \mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} (22) = 11.