Bài toán gốc
Biết tích phân $\int \limits_{6}^{7} – \frac{5}{x}\mathrm{d}x=a\ln b$. Tính $- 3 a – 2 b$.
A. ${\frac{13}{2}}$.
B. ${\frac{93}{7}}$.
C. ${\frac{52}{3}}$. *
D. ${\frac{38}{3}}$.
Lời giải:
$\int \limits_{6}^{7} – \frac{5}{x}\mathrm{d}x=-5\ln x \bigg|_{6}^{7}=-5(\ln 7-\ln 6)=-5\ln \frac{7}{6}$. $\Rightarrow a=-5, b=\frac{7}{6}$. Vậy $- 3 a – 2 b=\frac{38}{3}$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán yêu cầu tính tích phân xác định của hàm số dạng $f(x) = \frac{k}{x}$, sau đó đồng nhất kết quả với biểu thức $a\ln b$ để tìm các hằng số $a$ và $b$, cuối cùng tính giá trị của một biểu thức đại số theo $a$ và $b$. Phương pháp giải cơ bản là sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản $\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x = \ln|x| + C$ và tính chất của logarit $\ln d – \ln c = \ln\left(\frac{d}{c}\right)$.
Bài toán tương tự
Câu 1: Biết tích phân $\int \limits_{3}^{5} \frac{4}{x}\mathrm{d}x=a\ln b$. Tính $a+b$.
Đáp án: ${\frac{17}{3}}$
Lời giải ngắn gọn: $\int \limits_{3}^{5} \frac{4}{x}\mathrm{d}x=4\ln x \bigg|_{3}^{5}=4(\ln 5-\ln 3)=4\ln \frac{5}{3}$. Ta có $a=4, b=\frac{5}{3}$. Vậy $a+b=4+\frac{5}{3}=\frac{17}{3}$.
Câu 2: Cho $\int \limits_{2}^{8} – \frac{3}{x}\mathrm{d}x=a\ln b$. Tính $2a+3b$.
Đáp án: $6$
Lời giải ngắn gọn: $\int \limits_{2}^{8} – \frac{3}{x}\mathrm{d}x=-3\ln x \bigg|_{2}^{8}=-3(\ln 8-\ln 2)=-3\ln \frac{8}{2}=-3\ln 4$. Ta có $a=-3, b=4$. Vậy $2a+3b=2(-3)+3(4)=-6+12=6$.
Câu 3: Biết $\int \limits_{4}^{9} \frac{2}{x}\mathrm{d}x=a\ln b$. Tính giá trị của biểu thức $\frac{6a}{b}$.
Đáp án: ${\frac{16}{3}}$
Lời giải ngắn gọn: $\int \limits_{4}^{9} \frac{2}{x}\mathrm{d}x=2\ln x \bigg|_{4}^{9}=2\ln \frac{9}{4}$. Ta có $a=2, b=\frac{9}{4}$. Vậy $\frac{6a}{b}=\frac{6(2)}{9/4}=12 \cdot \frac{4}{9}=\frac{48}{9}=\frac{16}{3}$.
Câu 4: Cho tích phân $I=\int \limits_{5}^{11} \frac{10}{x}\mathrm{d}x=a\ln b$. Tính $a^2-4b$.
A. $456$.
B. ${\frac{456}{5}}$. *
C. ${\frac{544}{5}}$.
D. $96$.
Đáp án đúng: B
Lời giải ngắn gọn: $I=10\ln x \bigg|_{5}^{11}=10\ln \frac{11}{5}$. Suy ra $a=10, b=\frac{11}{5}$. Ta có $a^2-4b=10^2-4\left(\frac{11}{5}\right)=100-\frac{44}{5}=\frac{500-44}{5}=\frac{456}{5}$.
Câu 5: Biết $\int \limits_{10}^{15} – \frac{6}{x}\mathrm{d}x=a\ln b$. Tính $a+2b$.
A. $-3$. *
B. $-9$.
C. $0$.
D. $3$.
Đáp án đúng: A
Lời giải ngắn gọn: $\int \limits_{10}^{15} – \frac{6}{x}\mathrm{d}x=-6\ln x \bigg|_{10}^{15}=-6\ln \frac{15}{10}=-6\ln \frac{3}{2}$. Ta có $a=-6, b=\frac{3}{2}$. Vậy $a+2b=-6+2\left(\frac{3}{2}\right)=-6+3=-3$.