Bài toán gốc
Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $\int\limits_{7}^{10} {f(x)\mathrm{d}x}=-3,F(10)=-2$. Tính ${F(7)}$. *
A. ${1}$.
B. ${-5}$.
C. ${6}$.
D. ${-1}$.
Lời giải:
$\int\limits_{7}^{10} {f(x)\mathrm{d}x}=F(10)-F(7)=-2-F(7)$. Do đó: $F(7)=-2-(-3)=1$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán này yêu cầu sử dụng Định lý cơ bản của Giải tích (Fundamental Theorem of Calculus) để tính giá trị của nguyên hàm $F(x)$ tại một điểm, khi biết tích phân xác định của hàm số $f(x)$ và giá trị của nguyên hàm tại điểm còn lại. Công thức áp dụng là $\int_a^b {f(x)\mathrm{d}x}=F(b)-F(a)$. Phương pháp là thay thế các giá trị đã biết vào công thức để tìm giá trị chưa biết.
Bài toán tương tự
**1. Bài toán:** Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Biết $\int\limits_{1}^{5} {f(x)\mathrm{d}x}=8$ và $F(1)=3$. Tính $F(5)$.\n**Đáp án:** $F(5) = 11$.\n**Lời giải ngắn gọn:** Ta có $\int\limits_{1}^{5} {f(x)\mathrm{d}x}=F(5)-F(1)$. Thay số: $8 = F(5) – 3$. Vậy $F(5) = 8 + 3 = 11$. \n\n**2. Bài toán:** Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Biết $\int\limits_{0}^{4} {f(x)\mathrm{d}x}=-5$ và $F(4)=1$. Tính $F(0)$.\nA. $6$. B. $-4$. C. $-6$. D. $4$.\n**Đáp án đúng:** A. $6$.\n**Giải thích:** Ta có $F(4)-F(0)=-5$. Thay số: $1 – F(0) = -5$. Suy ra $F(0) = 1 – (-5) = 6$.\n\n**3. Bài toán:** Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $\int\limits_{2}^{6} {f(x)\mathrm{d}x}=4$ và $F(2)=-3$. Tính $F(6)$.\nA. $1$. B. $7$. C. $-1$. D. $-7$.\n**Đáp án đúng:** A. $1$.\n**Giải thích:** Theo định lý cơ bản, $\int\limits_{2}^{6} {f(x)\mathrm{d}x}=F(6)-F(2)$. Thay số: $4 = F(6) – (-3)$. Suy ra $F(6) = 4 – 3 = 1$. \n\n**4. Bài toán:** Cho hàm số $f(x)$ có nguyên hàm là $F(x)$. Biết $\int\limits_{-1}^{2} {f(x)\mathrm{d}x}=12$ và $F(2)=5$. Tính $F(-1)$.\n**Đáp án:** $F(-1) = -7$.\n**Lời giải ngắn gọn:** Ta có $\int\limits_{-1}^{2} {f(x)\mathrm{d}x}=F(2)-F(-1)$. Thay số: $12 = 5 – F(-1)$. Vậy $F(-1) = 5 – 12 = -7$.\n\n**5. Bài toán:** Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $\int\limits_{3}^{5} {f(x)\mathrm{d}x}=7$ và $F(3)=10$. Tính $F(5)$.\nA. $3$. B. $-3$. C. $17$. D. $-17$.\n**Đáp án đúng:** C. $17$.\n**Giải thích:** Ta có $F(5)-F(3)=7$. Thay số: $F(5) – 10 = 7$. Suy ra $F(5) = 7 + 10 = 17$