📌 Đề bài:
Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Khi đọc thông tin cực trị từ đồ thị hàm số $y = f(x)$, học sinh cần đặc biệt phân biệt rõ các thuật ngữ thường gây nhầm lẫn sau đây:
- Điểm cực tiểu (hoặc điểm cực đại) của hàm số: là giá trị của hoành độ $x$, tức là $x = x_0$.
- Giá trị cực tiểu (hoặc giá trị cực đại) của hàm số: là tung độ $y$, tức là $y_0 = f(x_0)$.
- Điểm cực tiểu (hoặc điểm cực đại) của đồ thị hàm số: là một điểm trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn bởi cặp tọa độ $M(x_0; y_0)$.
Tương tự như khi tìm các điểm cực trị của hàm số bậc ba bằng công cụ đạo hàm, trên đồ thị hàm số, điểm cực đại tương ứng với “đỉnh lồi” (đồ thị chuyển từ đi lên sang đi xuống), còn điểm cực tiểu tương ứng với “đáy lõm” (đồ thị chuyển từ đi xuống sang đi lên).
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Quan sát đồ thị hàm số $y = f(x)$ đã cho, ta xác định:
-
Đồ thị hàm số có hai điểm uốn lượn đổi hướng (tiếp tuyến nằm ngang):
– Điểm “đỉnh” nhô lên cao nhất cục bộ là điểm $(0; 2)$.
– Điểm “đáy” võng xuống thấp nhất cục bộ là điểm $(2; -2)$. -
Tại điểm có tọa độ $(2; -2)$, đồ thị hàm số chuyển từ chiều nghịch biến (đi xuống) sang đồng biến (đi lên). Do đó:
– Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(2; -2)$.
– Điểm cực tiểu của hàm số là hoành độ $x = 2$.
– Giá trị cực tiểu của hàm số là tung độ $y = -2$. - Đề bài yêu cầu tìm “Điểm cực tiểu của hàm số đã cho”, do đó ta kết luận $x = 2$.
👉 Chọn đáp án A ($x = 2$).
Để làm tốt các bài toán khảo sát hàm số nâng cao hơn, học sinh có thể tham khảo thêm dạng bài xét tính đồng biến, nghịch biến từ đồ thị hàm bậc ba hoặc nghiên cứu cực trị của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất để chuẩn bị nền tảng vững chắc cho kỳ thi THPT Quốc Gia.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ ở phần đề bài trên. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng bao nhiêu?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Quan sát đồ thị, điểm cực đại của đồ thị hàm số là điểm $(0; 2)$.
Giá trị cực đại (hay cực đại) của hàm số là giá trị tung độ $y_{\text{CĐ}} = f(0) = 2$.
Đáp số: $y = 2$ (hoặc $y_{\text{CĐ}} = 2$).
Bài tập 2: Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau: Tại $x = -1$, $f'(x) = 0$ và $f(x) = 4$; tại $x = 1$, $f'(x) = 0$ và $f(x) = 0$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$, nghịch biến trên $(-1; 1)$. Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là gì?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Từ bảng biến thiên, khi qua điểm $x = 1$, đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương, do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ với giá trị cực tiểu $y = f(1) = 0$.
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là một điểm có tọa độ $(x_{\text{CT}}; y_{\text{CT}}) = (1; 0)$.
Đáp số: Điểm $(1; 0)$.
Bài tập 3: Cho hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất $y = \frac{x^2 – x + 1}{x – 1}$. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Ta có $y = x + \frac{1}{x-1}$.
Đạo hàm $y’ = 1 – \frac{1}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 – 1}{(x-1)^2} = \frac{x^2 – 2x}{(x-1)^2}$.
Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
– Với $x = 0 \Rightarrow y = -1$, ta có điểm cực đại $A(0; -1)$.
– Với $x = 2 \Rightarrow y = 3$, ta có điểm cực tiểu $B(2; 3)$.
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: $AB = \sqrt{(2 – 0)^2 + (3 – (-1))^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Đáp số: $2\sqrt{5}$.
Bài tập 4: Cho hàm số $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có điểm cực đại là $A(-1; 3)$ và điểm cực tiểu là $B(1; -1)$. Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A(-1; 3)$ và $B(1; -1)$ có vectơ chỉ phương là $\vec{AB} = (2; -4) = 2(1; -2)$.
Suy ra vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (2; 1)$.
Phương trình đường thẳng $AB$ là: $2(x – 1) + 1(y + 1) = 0 \Leftrightarrow 2x + y – 1 = 0$ hay $y = -2x + 1$.
Đáp số: $y = -2x + 1$.
Bài tập 5: Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có bảng xét dấu của $f'(x)$ như sau: $f'(x) > 0$ khi $x \
Để lại phản hồi