📌 Đề bài:
Xét tính đơn điệu và tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: $$y = \frac{x^2 – 2x + 2}{x – 1}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để xét tính đơn điệu của hàm số phân thức hữu tỉ $y = f(x)$, ta thực hiện theo các bước chuẩn sau:
- Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.
- Bước 2: Tính đạo hàm $y’ = f'(x)$ theo công thức đạo hàm thương $\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}$.
- Bước 3: Tìm các điểm $x_i \in D$ mà tại đó $y’ = 0$ hoặc đạo hàm không xác định.
- Bước 4: Lập bảng xét dấu của $y’$ hoặc bảng biến thiên và rút ra kết luận về các khoảng đồng biến ($y’ > 0$) và nghịch biến ($y’ < 0$). Tương tự như kỹ năng thực hiện khi tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số hữu tỉ, việc lập bảng biến thiên rõ ràng sẽ giúp ta tránh nhầm lẫn tại các điểm gián đoạn.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
1. Tập xác định:
Hàm số xác định khi $x – 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$. Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
2. Đạo hàm:
Áp dụng quy tắc đạo hàm thương hàm số, ta có:
$$y’ = \frac{(x^2 – 2x + 2)'(x – 1) – (x^2 – 2x + 2)(x – 1)’}{(x – 1)^2}$$
$$y’ = \frac{(2x – 2)(x – 1) – (x^2 – 2x + 2)\cdot 1}{(x – 1)^2} = \frac{2x^2 – 4x + 2 – x^2 + 2x – 2}{(x – 1)^2} = \frac{x^2 – 2x}{(x – 1)^2}$$
3. Nghiệm đạo hàm:
$$y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{x^2 – 2x}{(x – 1)^2} = 0 \Leftrightarrow x^2 – 2x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x = 0 \\ &x = 2\end{aligned}\right.$$ (cả hai nghiệm đều thuộc $D$).
4. Bảng xét dấu của $y’$:
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $1$ | $2$ | $+\infty$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y’$ | $+$ | $0$ | $-$ | $\|$ | $-$ | $0$ | $+$ |
👉 Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(0; 1)$ và $(1; 2)$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = x^3 – 3x^2 – 9x + 5$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
• Đạo hàm: $y’ = 3x^2 – 6x – 9 = 3(x^2 – 2x – 3)$. Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$.
• Dấu của $y’$: $y’ > 0$ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$; $y’ < 0$ khi $x \in (-1; 3)$.
Đáp số: Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$; nghịch biến trên $(-1; 3)$.
Bài tập 2: Xét tính đơn điệu của hàm số $y = \frac{2x + 1}{x – 3}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$.
• Đạo hàm: $y’ = \frac{2(-3) – 1(1)}{(x – 3)^2} = \frac{-7}{(x – 3)^2} < 0, \forall x \neq 3$.
Đáp số: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 3)$ và $(3; +\infty)$.
Bài tập 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 3$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
• Đạo hàm: $y’ = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 – 1) = 0 \Leftrightarrow x \in \{-1; 0; 1\}$.
• Dấu $y’$: $y’ > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$ và $y’ < 0 \Leftrightarrow x \in (-1; 0) \cup (1; +\infty)$.
Đáp số: Đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$; nghịch biến trên $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$.
Bài tập 4: Tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = \sqrt{4 – x^2}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
• TXĐ: $4 – x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x \in [-2; 2]$.
• Đạo hàm với $x \in (-2; 2)$: $y’ = \frac{-2x}{2\sqrt{4 – x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{4 – x^2}}$. Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$.
• Dấu $y’$: $y’ > 0$ khi $x \in (-2; 0)$ và $y’ < 0$ khi $x \in (0; 2)$.
Đáp số: Hàm số đồng biến trên $(-2; 0)$ (hoặc $[-2; 0]$); nghịch biến trên $(0; 2)$ (hoặc $[0; 2]$).
Bài tập 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – mx^2 + (m + 2)x – 5$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
• TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm: $y’ = x^2 – 2mx + (m + 2)$.
• Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y’ \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta’ \le 0$ (do $a = 1 > 0$).
• Ta có: $\Delta’ = m^2 – (m + 2) = m^2 – m – 2 \le 0 \Leftrightarrow -1 \le m \le 2$.
Đáp số: $m \in [-1; 2]$.
Để lại phản hồi