📌 Đề bài:
Độ cao mực nước (tính bằng mét) tại một cảng biển ở thời điểm $t$ giờ sau nửa đêm ($0 \le t \le 24$) được cho bởi hàm số lượng giác: $$h(t) = 4 + 3\cos\left(\frac{\pi t}{6} – \frac{\pi}{4}\right)$$
Trong khoảng thời gian một ngày từ $0$ giờ đến $24$ giờ, hãy xác định:
- Có bao nhiêu thời điểm mực nước tại cảng đạt đúng $5{,}5\text{ m}$?
- Thời điểm đầu tiên trong ngày mực nước đạt giá trị $5{,}5\text{ m}$ là lúc mấy giờ?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Các hiện tượng tự nhiên có tính chu kỳ như thủy triều, nhiệt độ, chuyển động tròn đều hay con lắc thường được mô hình hóa bằng hàm số lượng giác $y = A\cos(\omega t + \varphi) + B$ hoặc $y = A\sin(\omega t + \varphi) + B$. Bên cạnh các bài toán cực trị hình học như bài toán ứng dụng góc nhìn lớn nhất, phương trình lượng giác là công cụ cốt lõi để giải quyết các mô hình thực tế này.
- Thiết lập phương trình lượng giác: Cho $h(t) = y_0 \Leftrightarrow \cos(\omega t + \varphi) = m$.
- Công thức nghiệm cơ bản: $$\cos u = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} u = \alpha + k2\pi \\ u = -\alpha + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$$
- Tìm nghiệm thực tế: Giải tìm $t$ theo $k$, sau đó chặn điều kiện $t \in [0; 24]$ để tìm các giá trị nguyên $k$ phù hợp.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Thiết lập phương trình lượng giác
Để mực nước đạt $5{,}5\text{ m}$, ta có phương trình: $$4 + 3\cos\left(\frac{\pi t}{6} – \frac{\pi}{4}\right) = 5{,}5$$ $$\Leftrightarrow 3\cos\left(\frac{\pi t}{6} – \frac{\pi}{4}\right) = 1{,}5$$ $$\Leftrightarrow \cos\left(\frac{\pi t}{6} – \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$$
Vì $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, ta có hai họ nghiệm:
$$\left[\begin{array}{l} \dfrac{\pi t}{6} – \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\[8pt] \dfrac{\pi t}{6} – \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$$
Bước 2: Giải tìm $t$ theo tham số $k$
Trường hợp 1: $$\frac{\pi t}{6} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + k2\pi = \frac{7\pi}{12} + k2\pi$$ Nhân cả hai vế với $\frac{6}{\pi}$: $$t = \frac{7}{2} + 12k = 3{,}5 + 12k \quad (k \in \mathbb{Z})$$ Do $0 \le t \le 24$ nên: $$0 \le 3{,}5 + 12k \le 24 \Leftrightarrow -\frac{3{,}5}{12} \le k \le \frac{20{,}5}{12} \approx 1{,}708$$ Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \{0; 1\}$.
– Với $k = 0 \Rightarrow t_1 = 3{,}5$ (giờ), tức là lúc $3$ giờ $30$ phút sáng.
– Với $k = 1 \Rightarrow t_2 = 15{,}5$ (giờ), tức là lúc $15$ giờ $30$ phút chiều.
Trường hợp 2: $$\frac{\pi t}{6} = \frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{3} + k2\pi = -\frac{\pi}{12} + k2\pi$$ Nhân cả hai vế với $\frac{6}{\pi}$: $$t = -\frac{1}{2} + 12k = -0{,}5 + 12k \quad (k \in \mathbb{Z})$$ Do $0 \le t \le 24$ nên: $$0 \le -0{,}5 + 12k \le 24 \Leftrightarrow \frac{0{,}5}{12} \le k \le \frac{24{,}5}{12} \approx 2{,}04$$ Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \{1; 2\}$.
– Với $k = 1 \Rightarrow t_3 = 11{,}5$ (giờ), tức là lúc $11$ giờ $30$ phút trưa.
– Với $k = 2 \Rightarrow t_4 = 23{,}5$ (giờ), tức là lúc $23$ giờ $30$ phút đêm.
Bước 3: Tổng hợp kết quả
Trong khoảng thời gian $0 \le t \le 24$, có tất cả $4$ giá trị của $t$ thỏa mãn là: $$t \in \{3{,}5;\, 11{,}5;\, 15{,}5;\, 23{,}5\}$$
👉 Kết luận / Đáp án:
1. Trong một ngày có 4 thời điểm mực nước đạt $5{,}5\text{ m}$.
2. Thời điểm đầu tiên trong ngày đạt mức nước này là lúc $3$ giờ $30$ phút sáng ($t = 3{,}5\text{ h}$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Một vòng quay Ferris có bán kính $R = 20\text{ m}$, trục quay cách mặt đất $25\text{ m}$. Vòng quay quay đều với tốc độ 1 vòng hết 8 phút. Độ cao của một cabin so với mặt đất tại thời điểm $t$ phút ($t \ge 0$) được cho bởi $h(t) = 25 – 20\cos\left(\frac{\pi t}{4}\right)$ (m). Tìm thời điểm đầu tiên kể từ lúc $t = 0$ mà cabin đạt độ cao $35\text{ m}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Suy ra $\frac{\pi t}{4} = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow t = \pm \frac{8}{3} + 8k$.
Với $t > 0$ nhỏ nhất, ta chọn $t = \frac{8}{3} \approx 2\text{ phút } 40\text{ giây}$.
Đáp số: $t = \frac{8}{3}\text{ phút}$ (hay 2 phút 40 giây).
Bài tập 2: Nhiệt độ ngoài trời $T$ ($^\circ\text{C}$) tại một thành phố vào ngày hè được ước lượng theo công thức $T(t) = 28 + 6\sin\left(\frac{\pi t}{12} – \frac{\pi}{2}\right)$ với $t$ là số giờ tính từ $0$ giờ ($0 \le t \le 24$). Tìm nhiệt độ cao nhất trong ngày và thời điểm xảy ra nhiệt độ cao nhất đó.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Dấu bằng xảy ra khi $\sin\left(\frac{\pi t}{12} – \frac{\pi}{2}\right) = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi t}{12} – \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow \frac{\pi t}{12} = \pi + k2\pi \Leftrightarrow t = 12 + 24k$.
Với $0 \le t \le 24$, ta có $k = 0 \Rightarrow t = 12$ (lúc 12 giờ trưa).
Đáp số: $34^\circ\text{C}$ vào lúc 12 giờ trưa.
Bài tập 3: Cường độ dòng điện xoay chiều chạy qua một mạch điện có phương trình $i(t) = 4\sqrt{2}\cos\left(100\pi t – \frac{\pi}{3}\right)$ (A). Hãy tính số lần cường độ dòng điện đạt độ lớn cực đại trong khoảng thời gian $1\text{ giây}$ đầu tiên ($0 \le t \le 1$).
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Tương đương: $100\pi t – \frac{\pi}{3} = k\pi \Leftrightarrow t = \frac{1}{300} + \frac{k}{100}$.
Điều kiện $0 \le t \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{300} + \frac{k}{100} \le 1 \Leftrightarrow -\frac{1}{3} \le k \le \frac{299}{3} \approx 99{,}67$.
Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \{0; 1; 2; \dots; 99\}$, có đúng 100 giá trị.
Đáp số: 100 lần.
Bài tập 4: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục $Ox$ với phương trình li độ $x(t) = 6\cos\left(4\pi t + \frac{\pi}{6}\right)$ (cm). Tìm các thời điểm trong $2\text{ giây}$ đầu tiên vật đi qua vị trí có li độ $x = -3\text{ cm}$ theo chiều dương (tức vận tốc $v > 0$).
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Vật chuyển động theo chiều dương khi $\sin\left(4\pi t + \frac{\pi}{6}\right) < 0$, do đó pha dao động là: $4\pi t + \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow 4\pi t = -\frac{5\pi}{6} + k2\pi \Leftrightarrow t = -\frac{5}{24} + \frac{k}{2}$.
Với $0 \le t \le 2$: $0 \le -\frac{5}{24} + \frac{k}{2} \le 2 \Leftrightarrow \frac{5}{12} \le k \le \frac{53}{12} \approx 4{,}41$.
Do đó $k \in \{1; 2; 3; 4\}$. Ta có các thời điểm: $t = \frac{7}{24}\text{s}, \frac{19}{24}\text{s}, \frac{31}{24}\text{s}, \frac{43}{24}\text{s}$.
Đáp số: $t \in \left\{\frac{7}{24}; \frac{19}{24}; \frac{31}{24}; \frac{43}{24}\right\}\text{ giây}$.
Bài tập 5: Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ với $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Một cánh tay robot quay quanh trục với góc quay $\theta(t) = \alpha + 2t$ (rad). Xác định giá trị của $\cos[\theta(t)]$ tại thời điểm $t = \frac{\pi}{4}\text{ s}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Áp dụng công thức góc hơn kém $\frac{\pi}{2}$: $\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin \alpha$.
Vì $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ nên $\cos[\theta] = -\frac{3}{5}$.
Đáp số: $\cos[\theta] = -\frac{3}{5}$.
Để lại phản hồi