Cho $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ với $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ và $\cos \beta = -\frac{5}{13}$ với $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$. Tính giá trị của biểu thức $P = \sin(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$

Bước 1: Tính $\cos \alpha$ và $\sin \beta$

Vì $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (góc phần tư thứ nhất) nên $\cos \alpha > 0$. Ta có:
$$\cos \alpha = \sqrt{1 – \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 – \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$

Vì $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ (góc phần tư thứ hai) nên $\sin \beta > 0$. Ta có:
$$\sin \beta = \sqrt{1 – \cos^2 \beta} = \sqrt{1 – \left(-\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$$

Bước 2: Áp dụng công thức cộng để tính từng thành phần

Tính $\sin(\alpha + \beta)$:
$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) + \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(\frac{12}{13}\right)$$
$$= -\frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{33}{65}$$

Tính $\cos(\alpha – \beta)$:
$$\cos(\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) + \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \left(\frac{12}{13}\right)$$
$$= -\frac{20}{65} + \frac{36}{65} = \frac{16}{65}$$

Bước 3: Tính giá trị của biểu thức $P$

$$P = \sin(\alpha + \beta) + \cos(\alpha – \beta) = \frac{33}{65} + \frac{16}{65} = \frac{49}{65}$$

👉 Kết luận / Đáp án: $P = \frac{49}{65}$