📌 Đề bài:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^4 – 2mx^2 + 1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng $32$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Cho hàm số trùng phương $y = ax^4 + bx^2 + c$ ($a \neq 0$). Đây là dạng bài toán cơ bản trong chương trình Sách Giáo Khoa lớp 12 về chủ đề tìm cực trị của hàm số.
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm: $y’ = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)$.
- Hàm số có $3$ điểm cực trị khi và chỉ khi $ab < 0$.
- Khi đó tọa độ 3 điểm cực trị là: $A(0; c)$, $B\left(-\sqrt{-\frac{b}{2a}}; c – \frac{b^2}{4a}\right)$, $C\left(\sqrt{-\frac{b}{2a}}; c – \frac{b^2}{4a}\right)$.
- Tam giác $ABC$ luôn cân tại đỉnh $A$, đường cao $AH = \frac{b^2}{4|a|}$, đáy $BC = 2\sqrt{-\frac{b}{2a}}$.
- Diện tích tam giác $ABC$: $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} AH \cdot BC = \sqrt{\frac{-b^5}{32a^3}}$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.
Hàm số đã cho có $a = 1$, $b = -2m$, $c = 1$.
Đạo hàm: $y’ = 4x^3 – 4mx = 4x(x^2 – m)$.
Phương trình $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 0 \\ &x^2 = m \end{aligned}\right.$
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow y’ = 0$ có $3$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m > 0$.
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm cực trị.
Với $m > 0$, tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
$$A(0; 1), \quad B(-\sqrt{m}; 1 – m^2), \quad C(\sqrt{m}; 1 – m^2)$$
Bước 3: Tính diện tích tam giác $ABC$.
Nhận thấy tam giác $ABC$ cân tại $A$. Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $BC$, suy ra $H(0; 1 – m^2)$.
Độ dài đường cao: $AH = |y_A – y_H| = |1 – (1 – m^2)| = m^2$ (do $m > 0$).
Độ dài cạnh đáy: $BC = \sqrt{(\sqrt{m} – (-\sqrt{m}))^2 + 0^2} = 2\sqrt{m}$.
Diện tích tam giác $ABC$ là:
$$S = \frac{1}{2} AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot m^2 \cdot 2\sqrt{m} = m^2\sqrt{m} = m^{\frac{5}{2}}$$
Bước 4: Giải phương trình tìm $m$.
Theo giả thiết bài toán:
$$S = 32 \Leftrightarrow m^{\frac{5}{2}} = 32 \Leftrightarrow m^{\frac{5}{2}} = 2^5 \Leftrightarrow m = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4$$
Giá trị $m = 4 > 0$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
👉 Kết luận: Chọn đáp án B ($m = 4$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^4 – 2mx^2 + 2m$ có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng $1$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
• Điều kiện có 3 điểm cực trị: $m > 0$.
• Tọa độ các điểm cực trị: $A(0; 2m)$, $B(-\sqrt{m}; 2m – m^2)$, $C(\sqrt{m}; 2m – m^2)$.
• Diện tích: $S = m^2\sqrt{m} = 1 \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn $m > 0$).
Đáp số: $m = 1$.
Bài tập 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^4 – 2(m+1)x^2 + m$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
• Hàm số có 3 điểm cực trị khi $m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > -1$.
• Đặt $u = m + 1 > 0$, tọa độ các đỉnh: $A(0; m)$, $B(-\sqrt{u}; m – u^2)$, $C(\sqrt{u}; m – u^2)$.
• $\Delta ABC$ cân tại $A$, do đó $\Delta ABC$ vuông cân khi và chỉ khi vuông tại $A \Leftrightarrow AH = \frac{1}{2}BC \Leftrightarrow u^2 = \sqrt{u} \Leftrightarrow u^3 = 1 \Leftrightarrow u = 1$.
• Suy ra $m + 1 = 1 \Leftrightarrow m = 0$ (thỏa mãn $m > -1$).
Đáp số: $m = 0$.
Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^4 – 2mx^2 + m^4$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
• Điều kiện có 3 cực trị: $m > 0$.
• Tọa độ các điểm cực trị: $A(0; m^4)$, $B(-\sqrt{m}; m^4 – m^2)$, $C(\sqrt{m}; m^4 – m^2)$.
• Chiều cao $AH = m^2$, đáy $BC = 2\sqrt{m}$. Tam giác đều khi $AH = \frac{\sqrt{3}}{2}BC \Leftrightarrow m^2 = \sqrt{3}\sqrt{m} \Leftrightarrow m^{\frac{3}{2}} = \sqrt{3} \Leftrightarrow m^3 = 3 \Leftrightarrow m = \sqrt[3]{3}$.
Đáp số: $m = \sqrt[3]{3}$.
Bài tập 4: Cho hàm số $y = x^4 – 2m^2x^2 + 3$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để diện tích tam giác tạo bởi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng $32$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
• Điều kiện có 3 điểm cực trị: $m^2 > 0 \Leftrightarrow m \neq 0$.
• Đặt $k = m^2 > 0$. Theo công thức diện tích: $S = k^2\sqrt{k} = k^{\frac{5}{2}}$.
• Đề bài cho $S = 32 \Leftrightarrow k^{\frac{5}{2}} = 32 \Leftrightarrow k = 4$.
• Do đó $m^2 = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2$.
Đáp số: $m = \pm 2$.
Bài tập 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 4m^3$ có hai điểm cực trị $A, B$ sao cho khoảng cách giữa hai điểm cực trị là $AB = \sqrt{20}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
• Đạo hàm $y’ = 3x^2 – 6mx = 3x(x – 2m)$. Hàm số có 2 cực trị khi $m \neq 0$.
• Tọa độ hai điểm cực trị là: $A(0; 4m^3)$ và $B(2m; 0)$.
• Khoảng cách $AB^2 = (2m)^2 + (-4m^3)^2 = 4m^2 + 16m^6 = 20 \Leftrightarrow 4m^6 + m^2 – 5 = 0$.
• Đặt $t = m^2 > 0$, ta có phương trình $4t^3 + t – 5 = 0 \Leftrightarrow (t – 1)(4t^2 + 4t + 5) = 0 \Leftrightarrow t = 1$.
• Với $t = 1 \Rightarrow m^2 = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$ (thỏa mãn $m \neq 0$).
Đáp số: $m = \pm 1$.
Để lại phản hồi