Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 3(m^2 – 1)x + 2$ đạt cực tiểu tại $x = 2$

Bước 1: Tính đạo hàm bậc một và bậc hai của hàm số:

$$y’ = 3x^2 – 6mx + 3(m^2 – 1)$$

$$y” = 6x – 6m$$

Bước 2: Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ là $y'(2) = 0$:

$$y'(2) = 3 imes 2^2 – 6m imes 2 + 3(m^2 – 1) = 0$$

$$\Leftrightarrow 12 – 12m + 3m^2 – 3 = 0 \Leftrightarrow 3m^2 – 12m + 9 = 0$$

$$\Leftrightarrow m^2 – 4m + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 3 \end{array}\right.$$

Bước 3: Kiểm tra lại với từng giá trị $m$:

• Trường hợp 1: Với $m = 1$, ta có:
  $$y”(2) = 6 \times 2 – 6 \times 1 = 12 – 6 = 6 > 0$$
  Do $y'(2) = 0$ và $y”(2) > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ (thỏa mãn yêu cầu đề bài).
• Trường hợp 2: Với $m = 3$, ta có:
  $$y”(2) = 6 \times 2 – 6 \times 3 = 12 – 18 = -6 < 0$$ Do $y'(2) = 0$ và $y''(2) < 0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ (loại).

👉 Kết luận: Giá trị tham số cần tìm là $m = 1$. Chọn đáp án C.