Cho hàm số $y = \frac{x^2 – x + 1}{x – 1}$ có đồ thị $(C)$. Xét tính đúng sai:

Xét tính Đúng/Sai của từng mệnh đề:

• Ý a): Điều kiện xác định của hàm số là mẫu số khác $0$: $x – 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$. Do đó tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
$\rightarrow$ Mệnh đề a ĐÚNG.

• Ý b): Ta biến đổi biểu thức hàm số dạng phân tích đa thức:
$$y = \frac{x(x – 1) + 1}{x – 1} = x + \frac{1}{x – 1}$$
– Ta có $\lim_{x \to 1^+} y = +\infty$ và $\lim_{x \to 1^-} y = -\infty$, do đó đường thẳng $x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị $(C)$.
– Mặt khác, $\lim_{x \to \pm\infty} [y – x] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x – 1} = 0$, suy ra đường thẳng $y = x$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$.
$\rightarrow$ Mệnh đề b ĐÚNG.

• Ý c): Tọa độ giao điểm của tiệm cận đứng $x = 1$ và tiệm cận xiên $y = x$ là nghiệm của hệ:
$$\begin{cases} x = 1 \\ y = x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases} \Rightarrow I(1; 1)$$
Theo tính chất hình học của đồ thị hàm phân thức hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất, giao điểm $I$ của hai đường tiệm cận chính là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
$\rightarrow$ Mệnh đề c ĐÚNG.

• Ý d): Ta tính đạo hàm của hàm số:
$$y’ = \left( x + \frac{1}{x – 1} \right)’ = 1 – \frac{1}{(x – 1)^2} = \frac{(x – 1)^2 – 1}{(x – 1)^2} = \frac{x^2 – 2x}{(x – 1)^2}$$
Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 – 2x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}\right.$ (đều thỏa mãn $x \neq 1$).
Vì $y’$ đổi dấu qua hai nghiệm đơn phân biệt này nên hàm số có đúng 2 điểm cực trị ($x = 0$ là điểm cực đại và $x = 2$ là điểm cực tiểu).
$\rightarrow$ Mệnh đề d ĐÚNG.

👉 Kết luận Đúng/Sai: a – ĐÚNG, b – ĐÚNG, c – ĐÚNG, d – ĐÚNG (A, B, C, D)