📌 Đề bài (Câu 16 – Nhận biết (NB) – Trắc nghiệm Trả lời ngắn (SA – Điền kết quả số/giá trị ngắn)):
Đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 – 4x + 5}{x – 2}$ có tiệm cận xiên dạng $y = ax + b$. Tính tổng $S = a + b$.
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức ở tử cho mẫu
Ta phân tích tử thức theo mẫu thức:
$$x^2 – 4x + 5 = x(x – 2) – 2(x – 2) + 1 = (x – 2)^2 + 1$$
Do đó, ta có thể viết lại hàm số dưới dạng:
$$y = \frac{x^2 – 4x + 5}{x – 2} = x – 2 + \frac{1}{x – 2}$$
Bước 2: Tìm phương trình đường tiệm cận xiên
Xét giới hạn:
$$\lim_{x \to \pm\infty} [y – (x – 2)] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x – 2} = 0$$
Suy ra, đường thẳng $y = x – 2$ là đường đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Bước 3: Xác định các hệ số $a, b$ và tính tổng $S$
Theo đề bài, tiệm cận xiên có dạng $y = ax + b$, do đó:
$$a = 1, \quad b = -2$$
Vậy tổng cần tìm là:
$$S = a + b = 1 + (-2) = -1$$
👉 Đáp án (kết quả điền số): -1
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
Cho hàm số phân thức hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất $y = \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{Ax^2 + Bx + C}{mx + n}$ (với $A \neq 0, m \neq 0$ và đa thức tử không chia hết cho mẫu):
- Cách 1 (Chia đa thức): Thực hiện phép chia đa thức tử cho mẫu để viết hàm số về dạng $y = ax + b + \frac{r}{mx + n}$. Khi đó, đường thẳng $y = ax + b$ chính là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số vì $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{r}{mx + n} = 0$. Tương tự như trong bài toán khảo sát hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất.
- Cách 2 (Sử dụng công thức giới hạn):
$$a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x}, \quad b = \lim_{x \to \pm\infty} (y – ax)$$ - Tìm hiểu thêm về dạng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số để củng cố kỹ năng làm bài nhanh.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn)
Bài tập 1: Đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 3x – 1}{x + 1}$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = ax + b$. Tính giá trị của biểu thức $P = a + 2b$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $y = \frac{x^2 + 3x – 1}{x + 1} = x + 2 – \frac{3}{x + 1}$.
Suy ra tiệm cận xiên là $y = x + 2 \Rightarrow a = 1, b = 2$.
Do đó $P = 1 + 2(2) = 5$.
Đáp án: 5
Bài tập 2: Cho hàm số $y = \frac{2x^2 – x + 3}{x – 1}$ có đường tiệm cận xiên là $y = ax + b$. Tính tích phân hoặc tích số $T = a \cdot b$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Chia đa thức: $y = \frac{2x(x – 1) + 1(x – 1) + 4}{x – 1} = 2x + 1 + \frac{4}{x – 1}$.
Tiệm cận xiên là $y = 2x + 1 \Rightarrow a = 2, b = 1$.
Vậy $T = a \cdot b = 2 \cdot 1 = 2$.
Đáp án: 2
Bài tập 3: Biết đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 – 5x + 7}{x – 3}$ cắt trục tung tại điểm $M(0; y_0)$. Tìm tung độ $y_0$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta có $y = \frac{x(x – 3) – 2(x – 3) + 1}{x – 3} = x – 2 + \frac{1}{x – 3}$.
Tiệm cận xiên là $y = x – 2$.
Giao điểm với trục tung ứng với $x = 0 \Rightarrow y_0 = 0 – 2 = -2$.
Đáp án: -2
Bài tập 4: Đồ thị hàm số $y = \frac{-x^2 + 4x – 2}{x – 2}$ có tiệm cận xiên $y = ax + b$. Tính giá trị của biểu thức $K = a^2 + b^2$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Chia tử cho mẫu: $y = \frac{-x(x – 2) + 2(x – 2) + 2}{x – 2} = -x + 2 + \frac{2}{x – 2}$.
Tiệm cận xiên là $y = -x + 2 \Rightarrow a = -1, b = 2$.
Do đó $K = (-1)^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
Đáp án: 5
Bài tập 5: Cho hàm số $y = \frac{3x^2 + 5x – 2}{x + 2}$. Tìm hệ số góc $k$ của đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Biến đổi hàm số: $y = \frac{3x(x + 2) – (x + 2)}{x + 2} = 3x – 1$ (với $x \neq -2$).
Lưu ý: Vì tử số chia hết cho mẫu số nên đồ thị hàm số là một đường thẳng khuyết điểm, không có tiệm cận xiên. Tuy nhiên, nếu xét trường hợp phân thức có dạng tổng quát hoặc đề bài cho phân thức không rút gọn hết thành đa thức: ta xét hệ số $a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = 3$. Hệ số góc của đường thẳng $y = 3x – 1$ là $k = 3$.
Đáp án: 3
Để lại phản hồi