Sách Toán - Học Toán - Đề Thi Toán

Học toán, Đề thi toán, Sách giáo khoa Toán, trắc nghiệm Toán online

Cho hàm số $y = x^4 – 2x^2 + 3$. Xét tính đúng sai:

Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Tính đơn điệu của hàm số - -

📌 Đề bài (Câu 9 – Nhận biết (NB) – Trắc nghiệm Đúng/Sai (MSQ – Xét tính Đúng/Sai của 4 ý a, b, c, d)):

Cho hàm số $y = x^4 – 2x^2 + 3$. Xét tính đúng sai:

a) Đạo hàm $y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x – 1)(x + 1)$
b) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$
c) Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$
d) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 1)$

💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)

Bước 1: Tập xác định và tính đạo hàm

– Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

– Đạo hàm: $y’ = (x^4 – 2x^2 + 3)’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1) = 4x(x – 1)(x + 1)$.

$\Rightarrow$ Mệnh đề a) ĐÚNG.

Bước 2: Tìm nghiệm của đạo hàm và lập bảng xét dấu

$y’ = 0 \Leftrightarrow 4x(x – 1)(x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -1 \\ x = 0 \\ x = 1 \end{array}\right.$

Bảng xét dấu đạo hàm $y’$:

$x$ $-\infty$ $-1$ $0$ $1$ +$+\infty$
$y’$ – 0 + 0 – 0 +

Bước 3: Kết luận tính đơn điệu

– Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$ do $y’ > 0$. $\Rightarrow$ Mệnh đề b) ĐÚNG.

– Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$ do $y’ < 0$. $\Rightarrow$ Mệnh đề c) ĐÚNG.

– Trên khoảng $(0; 1)$, $y’ < 0$ nên hàm số nghịch biến, khẳng định đồng biến là sai. $\Rightarrow$ Mệnh đề d) SAI.

👉 Kết luận Đúng/Sai: A – Đúng, B – Đúng, C – Đúng, D – Sai

📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ

Để khảo sát tính đơn điệu của hàm số trùng phương $y = ax^4 + bx^2 + c$ ($a \neq 0$):

  • Tính đạo hàm $y’ = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)$.
  • Tìm nghiệm $y’ = 0$: luôn có nghiệm $x = 0$ và nếu $ab < 0$ sẽ có thêm hai nghiệm đối xứng $x = \pm\sqrt{-\frac{b}{2a}}$.
  • Xét dấu đạo hàm bằng quy tắc: khoảng ngoài cùng bên phải luôn cùng dấu với hệ số $a$, sau đó đan dấu qua các nghiệm đơn.
  • Hàm số đồng biến trên các khoảng mà $y’ > 0$ và nghịch biến trên các khoảng mà $y’ < 0$.

Tham khảo thêm các dạng bài tập tương tự: Xem dạng hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 1$ nghịch biến trên khoảng nào hoặc bài toán trắc nghiệm đúng sai khảo sát hàm số bậc ba $y = x^3 – 3x + 2$ và hàm phân thức hàm số phân thức $y = \frac{2x + 1}{x – 1}$.

✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm Đúng/Sai)

Bài tập 1: Cho hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 5$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a) $y’ = -4x(x – 1)(x + 1)$
b) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$
d) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 0)$

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
– $y’ = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 – 1) = -4x(x – 1)(x + 1) \Rightarrow$ a) Đúng.
– $y’ = 0 \Leftrightarrow x \in \{-1; 0; 1\}$. Dấu $y’$: $(-\infty; -1): +$; $(-1; 0): -$; $(0; 1): +$; $(1; +\infty): -$.
– Suy ra b) Đúng; c) Sai (hàm số nghịch biến trên $(1; +\infty)$); d) Đúng.
👉 Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Sai, d – Đúng.

Bài tập 2: Cho hàm số $y = \frac{1}{4}x^4 – 2x^2 + 1$. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề:

a) Phương trình $y’ = 0$ có 3 nghiệm phân biệt là $x = 0$ và $x = \pm 2$
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; -2)$ và $(0; 2)$
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2; 2)$
d) Hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
– $y’ = x^3 – 4x = x(x^2 – 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = \pm 2 \Rightarrow$ a) Đúng.
– Dấu $y’$: $(-\infty; -2): -$; $(-2; 0): +$; $(0; 2): -$; $(2; +\infty): +$.
– b) Đúng; c) Sai (trên $(-2; 2)$ có cả khoảng đồng biến và nghịch biến); d) Đúng.
👉 Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Sai, d – Đúng.

Bài tập 3: Cho hàm số $y = x^4 + 2x^2 – 1$. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề:

a) $y’ = 4x(x^2 + 1)$
b) Đạo hàm $y’ = 0$ có đúng 1 nghiệm thực $x = 0$
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; 0)$
d) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
– $y’ = 4x^3 + 4x = 4x(x^2 + 1) \Rightarrow$ a) Đúng.
– $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (do $x^2 + 1 > 0, \forall x$) $\Rightarrow$ b) Đúng.
– Với $x < 0 \Rightarrow y' < 0$ (nghịch biến) $\Rightarrow$ c) Sai.
– Với $x > 0 \Rightarrow y’ > 0$ (đồng biến) $\Rightarrow$ d) Đúng.
👉 Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Sai, d – Đúng.

Bài tập 4: Cho hàm số $y = -x^4 – 4x^2 + 2$. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề:

a) Đạo hàm $y’ = -4x(x^2 + 2)$
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; 0)$
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; +\infty)$
d) Hàm số có 3 khoảng đơn điệu khác nhau

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
– $y’ = -4x^3 – 8x = -4x(x^2 + 2) \Rightarrow$ a) Đúng.
– Do $x^2 + 2 > 0$: khi $x < 0 \Rightarrow y' > 0$ (đồng biến); khi $x > 0 \Rightarrow y’ < 0$ (nghịch biến) $\Rightarrow$ b) Đúng, c) Đúng.
– Hàm số chỉ có 2 khoảng đơn điệu là $(-\infty; 0)$ và $(0; +\infty) \Rightarrow$ d) Sai.
👉 Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Đúng, d – Sai.

Bài tập 5: Cho hàm số $y = x^4 – 8x^2$. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề:

a) Hàm số có đạo hàm triệt tiêu tại $x = 0$ và $x = \pm 2$
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2; 0)$
d) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
– $y’ = 4x^3 – 16x = 4x(x^2 – 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = \pm 2 \Rightarrow$ a) Đúng.
– Dấu $y’$: âm trên $(-\infty; -2)$, dương trên $(-2; 0)$, âm trên $(0; 2)$, dương trên $(2; +\infty)$.
– b) Sai (trên khoảng $(1; 3)$ chứa cả khoảng $(1; 2)$ nghịch biến và $(2; 3)$ đồng biến); c) Đúng; d) Đúng.
👉 Đáp án: a – Đúng, b – Sai, c – Đúng, d – Đúng.

Reader Interactions

Để lại phản hồi